Η γραφή των αριθμών στο Ιωνικό αλφαβητικό σύστημα αρίθμησης και η χρήση τους σε κείμενα αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών (E)


(ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΑΠΟ 21/04/18)

Η γραφή των αριθμών στο Ιωνικό αλφαβητικό σύστημα αρίθμησης και η χρήση τους σε κείμενα αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών

Μια σημαντική κατάκτηση στα αριθμητικά συστήματα ήταν η επινόηση από τους Έλληνες του αλφαβητικού συστήματος αρίθμησης. Από τον 5ο π.Χ. αιώνα, αλλά κυρίως από τους χρόνους των διαδόχων του Μ. Αλεξάνδρου, αρχίζει να διαδίδεται στις Ελληνικές πόλεις αυτό το νέον αριθμητικό σύστημα όπου είναι πολύ ικανοποιητικό για τις καθημερινές τους ανάγκες και τις οικονομικές τους συναλλαγές. Ακόμα και οι επιστήμονες, όπως ο Αρχιμήδης, το χρησιμοποιούσαν στους υπολογισμούς τους. Η ευκολία με την οποία το χρησιμοποιούσαν ήταν, ίσως, η αιτία της διατήρησής του στην Ανατολική Ρωμαϊκή αυτοκρατορία μέχρι τον 15ο αιώνα.

Συγκεκριμένα, φαίνεται πως ήταν καταλληλότερο για να χρησιμοποιείται στις καθημερινές ανάγκες από τα άκομψα ρωμαϊκά σύμβολα. Αξίζει να υπενθυμίσουμε ότι ο Γάλλος μαθηματικός Τάνερι εξοικειώθηκε με το ελληνικό αριθμητικό σύστημα, κάνοντας τις τέσσερις πράξεις της αριθμητικής, σύμφωνα με τον τρόπο που τις έκανε ο Αρχιμήδης στο Κύκλου Μέτρησης. Έτσι, διαπιστώθηκε ότι «υπήρχαν πρακτικά πλεονεκτήματα, που δεν υποπτευόταν πριν και ότι οι πράξεις χρειάζονταν λίγο περισσότερο χρόνο, σε σχέση με τα σύγχρονα αριθμητικά σύμβολα». Το σύστημα αυτό παρουσιάζει το πλεονέκτημα ότι, αποφεύγει την επανάληψη συμβόλων, όπως τη γνωρίσαμε στα άλλα αρχαία συστήματα. Έτσι προέκυψε μια συντόμευση της γραφής, που θα την αντιληφθούμε κατά τον σχηματισμό των αριθμών. Στο αλφαβητικό (Ιωνικό) σύστημα οι αριθμοί παριστάνονται με σύμβολα: 24 γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου και 3 αρχαϊκά (φοινικικά) που είναι το δίγαμμα , το κόππα (Ϙ) και το σαμπί (Ϡ). Η αντιστοιχία μεταξύ των γραμμάτων και των αριθμών δίνεται από τον παρακάτω πίνακα.

Αρχικά για τη γραφή των αριθμών χρησιμοποιούνταν τα κεφαλαία γράμματα και αργότερα τα μικρά. Υπάρχουν δύο τρόποι χρησιμοποίησης των γραμμάτων ως αριθμών. Με τον πρώτο τρόπο έβαζαν πάνω από το γράμμα μια οριζόντια παύλα και με το δεύτερο μια οξεία στο πάνω και δεξιό μέρος του αριθμού. Όπου, όμως, δεν υπήρχε σύγχυση ως προς τη γραφή των αριθμών και των γραμμάτων, οι οξείες παραλείπονταν. Όλοι οι αριθμοί οι μικρότεροι του 1.000 γράφονταν με τρία το πολύ σύμβολα. Για να γράψουν αριθμούς μεγαλύτερους από το 999 χρησιμοποιούσαν διάφορα τεχνάσματα, τα οποία στηρίζονταν σε πολλαπλασιαστικές αρχές. Έτσι, για παράδειγμα, μια μικρή γραμμή κάτω αριστερά από το γράμμα σήμαινε ότι ο αριθμός πολλαπλασιάζεται με το 1000. Επομένως, οι αριθμοί 1000, 2000, …, 9000 δίνονται από τον παρακάτω πίνακα.

Άρα, για να γράψουν αριθμούς μικρότερους του 10.000, χρησιμοποιούσαν μόνο τέσσερα γράμματα, από τα οποία, μάλιστα, το ψηφίο των χιλιάδων ήταν όπως και των μονάδων, με μοναδική διαφορά το σημάδι του τόνου.

Για τον προσδιορισμό της αξίας των αριθμών, το σύστημα χρησιμοποιεί την πρόσθεση της αξίας των ψηφίων καθενός αριθμού.

Για παράδειγμα δίνουμε τέσσερις αριθμούς γραμμένους κατά το Ελληνικό αριθμητικό σύστημα και φυσικά μαζί με την εξήγησή τους σε σύγχρονους αριθμούς: υνς’ = 400 + 50 + 6 = 456

δχπβ’ = 4000 + 600 + 80 + 2 = 4682 ‚

ασο’ = 1000 + 200 + 70 = 1270 ‚

ηωκ’ = 8000 + 800 + 20 = 8820

Το σύστημα είναι δεκαδικό και θεμελιώδεις μονάδες του είναι αυτές που ακολουθούν: α’ ( = 1), ι’ ( = 10), ρ’ ( = 100), ‚α ( = 1000).

Οι αριθμοί που βρίσκονται μεταξύ των μονάδων δεν σχηματίζονται με επαναλήψεις, αλλά με δικά τους σύμβολα. Φυσικά, τα σύμβολα έχουν γίνει πολλά, όμως εύκολα συγκρατούνται στη μνήμη, γιατί η διαδοχή τους ακολουθεί τους γνώριμους φθόγγους των γραμμάτων του λόγου, δηλαδή του αλφαβήτου. Και σ’ αυτό το αριθμητικό σύστημα που επικράτησε στην Ευρώπη μέχρι τον 12ο αιώνα, ίσως και περισσότερο, παρατηρούμε την έλλειψη του μηδέν. Η ιδέα του μηδέν (ή ουθέν στα αρχαία Ελληνικά), ήταν γνωστή κατά την αρχαιότητα σαν έλλειψη μονάδων, αλλά δεν χρησιμοποιείτο για το σχηματισμό των αριθμών. Έτσι η αξία των αριθμών ήταν συνδεδεμένη με τα σύμβολα. Επειδή το Ελληνικό σύστημα, όπως και τα άλλα αρχαία συστήματα, παρουσίαζαν δυσκολίες στην εκτέλεση αριθμητικών πράξεων, για τη διευκόλυνση των υπολογισμών επινοήθηκαν κατάλληλες συσκευές, που πήραν το όνομα «Άβακες». Η επινόηση του άβακα ήταν Ελληνική, όπως άλλωστε και το όνομα Άβαξ. Στην αρχαία Ελλάδα οι άβακες χρησιμοποιούντο από τον 6ο αιώνα π.Χ.

Αρχαία Μινωική γραφή σε Γραμμική Β

Στην αρχαία Κρήτη χρησιμοποιούσαν από το 1350 π.Χ. περίπου την Γραμμική Β, η οποία αντικατέστησε παλαιότερες γραφές.

Το σύστημα γραφής αριθμών είναι «προσθετικό» με βάση το δέκα.

Παράδειγμα: 12.345 =

Tο Ιταλο-Ρωμαϊκό σύστημα γραφής (ή Λατινική γραφή)

Το Ρωμαϊκό σύστημα αριθμητικής γραφής στηρίζεται στα παλαιότερα συστήματα, παρουσιάζει όμως και βελτιώσεις. Τα σύμβολα του συστήματος είναι απλούστερα, χρησιμοποιούνται δε και γράμματα του αλφαβήτου ως αριθμητικά σύμβολα. Χαρακτήρες αναπαράστασης Το σημερινό σύστημα περιλαμβάνει 7 γράμματα αναπαράστασης για τις θεμελιώδεις μονάδες,με τις κάτωθι αξίες στο δεκαδικό σύστημα: 

Ι = 1  V = 5  X = 10  L = 50  C = 100  D = 500  M = 1.000

Παρατηρούμε ότι, εκτός από τα σύμβολα μονάδων (1, 10, 100, 1.000) έχουν τοποθετηθεί σύμβολα για τους αριθμούς (5, 50, 500).

Αυτό έγινε προφανώς για να αποφεύγεται η μεγάλη επανάληψη συμβόλων. Έτσι, αν δεν υπήρχε το σύμβολο V (του 5), ο αριθμός 8 θα γραφόταν με επανάληψη οκτώ μονάδων, δηλαδή: IIIIIIII.

Ενώ με τη χρήση του V ο αριθμός 8 γράφεται: VIII.

Κανόνες σύνταξης

Οι κανόνες αναπαράστασης έχουν ως εξής:  Όταν έχουμε δύο ή τρία ίδια γράμματα στη σειρά τότε οι αξίες των γραμμάτων προστίθενται: Π. χ. : ΙΙ = 2, III = 3, XXX = 30, CC = 200

Γενικότερα, το Ρωμαϊκό σύστημα, για να εκφράσει την αξία των αριθμών, χρησιμοποιεί την πρόσθεση της αξίας των ψηφίων. Παραδείγματα : MMDCCC (1.000 + 1.000 + 500 + 100 + 100 + 100 ) = 2.800 MDCLV (1.000 + 500 + 100 + 50 + 5 ) = 1.655.  Όμως το σύστημα, προκειμένου να πετύχει τη συντομία, χρησιμοποιεί και την αφαίρεση. Όταν έχουμε δύο γράμματα στη σειρά και το γράμμα που βρίσκεται στα δεξιά είναι μεγαλύτερης αξίας ή το γράμμα στα αριστερά μικρότερης αξίας τότε αφαιρούνται: Π.χ. IV = 4, IX = 9, CD = 400.

Παρατηρήσεις 

Τα σύμβολα I,X,C και Μ μπορούν να επαναληφθούν διαδοχικά μέχρι τρεις φορές. Κατ’ εξαίρεση στα καντράν ρολογιών συχνά υπάρχει και η αναπαράσταση IIII που αντιστοιχεί στον αριθμό 4.  Τα σύμβολα D, L και V δεν μπορούν να επαναληφθούν.  Το σύμβολο I μπορεί να αφαιρεθεί μόνο από τα σύμβολα V και X.  Το σύμβολο X μπορεί να αφαιρεθεί από τα σύμβολα L και C.  Το σύμβολο C μπορεί να αφαιρεθεί από τα σύμβολα D και M.  Τα σύμβολα V,L και M δεν αφαιρούνται ποτέ.  Το δεκαδικό ψηφίο 0 και ο αριθμός «0» δεν αναπαρίστανται και δεν υπάρχουν στους ρωμαϊκούς αριθμούς. Τώρα μπορούμε να καταλάβουμε καλύτερα τους λατινικούς αριθμούς στον πίνακα που ακολουθεί.

Παράδειγμα : 1824 = MDCCCXXIV Σήμερα βλέπουμε διατήρηση του λατινικού συστήματος γραφής αριθμών, σε ρολόγια και σε χρονολογίες. Επίσης, το χρησιμοποιούμε και σε αρίθμηση περιπτώσεων.

Το Shepherd gate clock με ρωμαϊκούς αριθμούς, στο Γκρήνουϊτς

(ΣΥΝΕΧΙΖΕΤΑΙ)

About sooteris kyritsis

Job title: (f)PHELLOW OF SOPHIA Profession: RESEARCHER Company: ANTHROOPISMOS Favorite quote: "ITS TIME FOR KOSMOPOLITANS(=HELLINES) TO FLY IN SPACE." Interested in: Activity Partners, Friends Fashion: Classic Humor: Friendly Places lived: EN THE HIGHLANDS OF KOSMOS THROUGH THE DARKNESS OF AMENTHE
This entry was posted in SCIENCE=EPI-HISTEME and tagged , , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.