ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (CT)


(CYNECHIZETAI APO 9/8/16)

2.4 Τα σύμβολα και ο ρόλος τους στην κατανόηση των μαθηματικών

O μαθηματικός συμβολισμός αποτελεί ένα από τα ισχυρότερα μέσα έκφρασης των μαθηματικών. Η χρήση συμβόλων για την αναπαράσταση των μαθηματικών ιδεών συνέβαλε σημαντικά στη εντυπωσιακή εξέλιξη της μαθηματικής επιστήμης, εφοδιάζοντας τη σκέψη με ένα ευέλικτο και οικονομικό εργαλείο. Η εκτεταμένη αυτή χρήση συμβόλων στα μαθηματικά επηρέασε το περιεχόμενο και τη διδασκαλία του μαθήματος στο σχολείο. Από τα πρώτα χρόνια και με την πάροδο του χρόνου, τα παιδιά γνωρίζονται μ’ ένα σημαντικό αριθμό συμβόλων. Η έρευνα έχει επανειλημμένα ασχοληθεί με αυτό το κομμάτι των σχολικών μαθηματικών, εστιάζοντας το ενδιαφέρον στα χαρακτηριστικά του μαθηματικού συμβολισμού και στον τρόπο με τον οποίο οι μαθητές και οι εκπαιδευτικοί χειρίζονται το συμβολικό σύστημα των μαθηματικών. Ο Skemp (1971) γράφει ότι «η χρήση των συμβόλων είναι εκείνη με την οποία επιτυγχάνουμε τον εθελοντικό έλεγχο της σκέψης» και αποδίδει στο μαθηματικό συμβολισμό έναν αριθμό λειτουργιών, όπως επικοινωνία, ταξινόμηση, επεξήγηση, διευκόλυνση διαλογισμού, αυτοματοποίηση συχνά επαναλαμβανόμενων χειρισμών,κατανόηση, κάθε δημιουργική διανοητική δραστηριότητα κτλ. Υποστηρίζει ότι τα σύμβολα λειτουργούν ως γέφυρες μεταξύ των σκέψεων και του εξωτερικού κόσμου και δανείζεται από τον Chomsky τους όρους «επιφανειακή δομή (surface structure)» και «βαθιά δομή (deep structure)» για να αναπαραστήσει τους δύο αυτούς κόσμους αντίστοιχα. Επεκτείνοντας αυτήν την αντίληψη, οι Byers και Erlwanger (1984) αναπτύσσουν την άποψη ότι τα μαθηματικά ως επιστημονικός κλάδος διακρίνονται από μια δυαδικότητα, αυτήν του «περιεχομένου» και της «φόρμας». Η τελευταία εξελίσσεται και αλλάζει εξαιτίας της ανάγκης να εκφράσει τις ιδιότητες ενός «αυξανόμενου αποθεματικού μαθηματικών αντικειμένων». Κεντρικό σημείο της μαθηματικής δραστηριότητας αποτελεί η ικανότητα χειρισμού συμβόλων και η ταυτόχρονη διατήρηση της συνειδητοποίησης των εννοιών που δηλώνουν αυτά τα σύμβολα. Για το λόγο αυτό, η επιτυχία ενός παιδιού στα μαθηματικά εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από την ικανότητά του να ελέγχει πλήρως τόσο το περιεχόμενο όσο και τη φόρμα, ενώ ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να είναι σε θέση να εκτιμήσει τους ρόλους και των δύο και τις μεταξύ τους σχέσεις. Πιθανή αποτυχία του παιδιού να διακρίνει τη διαφορά μεταξύ περιεχομένου και φόρμας μπορεί να προκαλέσει σύγχυση. Οι Byers και Erlwanger συμπεραίνουν ότι το σχολείο θα πρέπει να βοηθήσει τους μαθητές να αποκτήσουν ευχέρεια στους χειρισμούς των συμβόλων, με δεδομένο, ωστόσο, το γεγονός ότι η μάθηση της φόρμας κατέχει πρωτεύουσα θέση στη διδασκαλία των σχολικών μαθηματικών, δε θα πρέπει να τους δοθεί η εντύπωση ότι οι κανόνες που αφορούν τη φόρμα και τη δομή αποτελούν την ουσία των μαθηματικών. Είναι πιθανό η αδυναμία πολλών παιδιών να εκτιμήσουν τους ρόλους του περιεχομένου και της φόρμας και την αλληλεπίδρασή τους στο πλαίσιο των μαθηματικών να αποτελεί έναν από τους βασικούς λόγους αποτυχίας τους στα μαθηματικά.

Σε μεταγενέστερο άρθρο του ο Skemp (1982) υιοθετεί τον όρο «συμβολική κατανόηση» (symbolic understanding) για να αναφερθεί στην κατανόηση που αφορά την ικανότητα της σύνδεσης των μαθηματικών συμβόλων με τις αντίστοιχες μαθηματικές ιδέες [την οποία οι Byers και Herscovics (1977) αποκαλούν «τυπική κατανόηση» (formal understanding)]. Ο Skemp διευκρινίζει ότι η λέξη «συμβολική» δεν αναφέρεται σε ένα μοναδικό σύμβολο αλλά σε ένα συμβολικό σύστημα, δηλαδή σε ένα σύνολο συμβόλων που αντιστοιχούν σε ένα σύνολο εννοιών μαζί με σχέσεις μεταξύ των συμβόλων, οι οποίες με τη σειρά τους αντιστοιχούν σε σχέσεις μεταξύ των εννοιών. Για παράδειγμα, η θέση και το μέγεθος των ψηφίων «2» και «3» στις παρακάτω συμβολικές αναπαραστάσεις καθορίζουν τις σχέσεις μεταξύ των εννοιών που αναπαριστούν: 23, 23 . Τελικά, ο Skemp υιοθετεί τον εξής ορισμό για τη συμβολική κατανόηση: είναι η αμοιβαία αφομοίωση μεταξύ ενός συστήματος συμβόλων και μιας κατάλληλης εννοιολογικής δομής. Τονίζει, ωστόσο, ότι η εννοιολογική δομή είναι σημαντικό να μην κυριαρχείται από το σύστημα συμβόλων, καθώς η ισχύς των μαθηματικών βρίσκεται στις ιδέες. Με την κατάλληλη συνεργασία των δύο, τα σύμβολα υποστηρίζουν τη χρήση αυτής της ισχύος μέσω της αξιοποίησης των ιδεών αυτών στην πληρότητά τους. Σε περιπτώσεις ισομορφισμού, ελάχιστη σημασία έχει η κυριαρχία του ενός στοιχείου έναντι του άλλου. Στα μαθηματικά, ο ισομορφισμός μεταξύ συμβολικού συστήματος και εννοιολογικής δομής είναι, στις περισσότερες περιπτώσεις, τοπικού μόνο χαρακτήρα. Για παράδειγμα, η χωρική  σχέση «βρίσκεται δεξιά από» έχει διαφορετική σημασία σε κάθε μία από τις παρακάτω συμβολικές αναπαραστάσεις: 23, 21/3, 2α, ενώ η αναπαράσταση (2,3) έχει τρεις διαφορετικές ερμηνείες: ρητός αριθμός, σημείο στο επίπεδο και ελεύθερο διάνυσμα. Αυτό οφείλεται κυρίως στις πολύ περιορισμένες δυνατότητες διευθέτησης των συμβόλων αναφορικά με τις πολλές σχέσεις που αναπτύσσονται μεταξύ των μαθηματικών ιδεών και λιγότερο σε ενδεχόμενα λανθασμένη επιλογή συμβολικού συστήματος. Ο Skemp υποστηρίζει ότι οποιαδήποτε επικοινωνία, προφορική ή γραπτή γίνεται αντιληπτή αρχικά από ένα σύστημα συμβόλων.

Για να γίνει κατανοητή (δηλαδή να συσχετιστεί εννοιολογικά), πρέπει να «προσελκυστεί» από κάποια εννοιολογική δομή και να ερμηνευτεί με βάση τις σχέσεις της εννοιολογικής, κυρίως, δομής και λιγότερο αυτές του συμβολικού συστήματος. Αυτό απαιτεί ισχυρές εννοιολογικές δομές και κυρίως αρκετά δυνατούς δεσμούς μεταξύ του συμβολικού συστήματος και της εννοιολογικής δομής, έτσι ώστε να πραγματοποιηθεί η μετάβαση από το ένα σύστημα στο άλλο. Σε μία ενδιαφέρουσα ανταλλαγή απόψεων για το ρόλο των μαθηματικών συμβόλων στη μάθηση και διδασκαλία των σχολικών μαθηματικών μέσα από τις σελίδες του περιοδικού «Mathematics Teaching» της Μεγάλης Βρετανίας, ο Tahta (1985) διατυπώνει μια ενδιαφέρουσα όσο και προκλητική σε σχέση με τα παραπάνω θέση. Συγκεκριμένα, θεωρεί ως σημαντική για την κατανόηση των μαθηματικών από τα παιδιά την απόκτηση ευχέρειας στο χειρισμό των μαθηματικών συμβόλων, ανεξάρτητα από οποιαδήποτε συσχετιζόμενα εξωτερικά νοήματα. Αντιδρώντας σε αυτήν τη θέση, η Liebeck (1986) υπερασπίζεται το ρόλο της εμπειρίας στη μάθηση των μαθηματικών, αντιπαρατάσσοντας ένα μοντέλο ανάπτυξης των μαθηματικών εννοιών, σύμφωνα με το οποίο η εμπειρία έρχεται πρώτη, ακολουθεί η γλώσσα, στη συνέχεια η εικόνα και στο τέλος το σύμβολο. Συμμετέχοντας στη συζήτηση, ο Pimm (1986) επικρίνει τη θέση της Liebeck, η οποία διαχωρίζει τη γλώσσα από την εμπειρία. Τονίζει το γλωσσικό χαρακτήρα των μαθηματικών, διατυπώνοντας τη θέση ότι εκείνο που συχνά απαιτείται από το μαθητή είναι να κατανοήσει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιείται ένα γλωσσικό σχήμα. Το γεγονός ότι τα παιδιά, από πολύ μικρή ηλικία, κατέχουν ένα σημαντικό μέρος της μητρικής τους γλώσσας φανερώνει ότι είναι σε θέση να διερευνήσουν και να υιοθετήσουν ένα αντίστοιχο σύστημα «πριν προσεγγίσουν τον πιο δύσκολο στόχο της κατανόησης της σχέσης του με τον εξωτερικό κόσμο».

Αυτό ενισχύει τη θέση σύμφωνα με την οποία «η διδασκαλία που στοχεύει στην κατανόηση περιλαμβάνει την ευχέρεια χειρισμού η οποία δεν είναι απαραίτητο να ακολουθήσει την απόκτηση νοήματος» (Pimm, 1986). Η Sesay (1982) αναφέρεται στο ίδιο θέμα της σχέσης μεταξύ συμβόλων και μαθηματικών ιδεών/ αντικειμένων στα πλαίσια της σχολικής πρακτικής και υποστηρίζει ότι για να μπορεί ένα παιδί να αντιμετωπίσει μια συμβολική πρόταση, θα πρέπει να είναι σε θέση: (i) να χειριστεί τα σύμβολα, (ii) να συνειδητοποιήσει τη μεταξύ τους σχέση και (iii) να μεταφέρει αυτές τις δραστηριότητες στο επίπεδο των μαθηματικών ιδεών τις οποίες αναπαριστούν τα σύμβολα. Στην τελευταία διαδικασία, το παιδί πρέπει να αντιστοιχίσει τα σύμβολα με αυτές τις ιδέες, με τον κίνδυνο ανεξαρτητοποίησης των συμβόλων από τα αντικείμενα που η Sesay αποκαλεί έλλειψη ‘εξωτερικής σταθερότητας’ (αναφέρεται στη σταθερότητα μεταξύ των μαθηματικών ιδεών και του συστήματος των συμβόλων). Για πολλά χρόνια, ο χειρισμός των μαθηματικών συμβόλων κατείχε κεντρική θέση στη διδασκαλία των μαθηματικών. Τα τελευταία χρόνια, ωστόσο, η έρευνα έστρεψε την προσοχή των εκπαιδευτικών στη σημασία που έχει για τη μάθηση των μαθηματικών η κατανόηση των μαθηματικών αντικειμένων, στα οποία αναφέρονται τα σύμβολα. Ωστόσο, ακόμη και σήμερα, τα μαθηματικά σύμβολα έχουν λίγο ή καθόλου νόημα για πολλούς μαθητές.

Εντοπίζοντας αυτό το πρόβλημα, ο Arcavi (1994) υποστηρίζει ότι η μαθηματική εκπαίδευση θα πρέπει να καλλιεργήσει αυτό που αποκαλεί ‘αντίληψη συμβόλου’ (symbol sense), δηλαδή «μια σύνθετη και πολύπλευρη ‘αίσθηση’ για τα σύμβολα … μια γρήγορη ή ακριβή αναγνώριση, κατανόηση ή αντίληψη των συμβόλων». Ο Arcavi δεν επιχειρεί να διατυπώσει έναν ακριβή ορισμό του όρου αλλά προσπαθεί να περιγράψει συμπεριφορές οι οποίες αποτελούν παραδείγματα της «αντίληψη συμβόλου» όπως: • κατανό ηση της δύναμης των συμβό λων, δηλαδή πό τε και πο ύ μπο ρο ύν να χρησιμοποιηθούν, • συναίσθηση της λειτουργικότητας των συμβόλων έναντι άλλων προσεγγίσεων, • ικανότητα χειρισμού αλλά και ‘ανάγνωσης’ των συμβόλων ως δύο συμπληρωματικών πλευρών της λύσης προβλημάτων, • ικανότητα επιλογής ενός μαθηματικού συμβολισμού αλλά και απόρριψής του προς όφελος της επίλυσης του προβλήματος, • συνειδητοποίηση της ανάγκης ελέγχου της σημασίας/νοήματος του συμβόλου κατά την επίλυση του προβλήματος, • αντίληψη του διαφορετικού ρόλου που μπορούν να διαδραματίσουν τα σύμβολα σε διαφορετικά πλαίσια. Κατά τον Arcavi, η ‘αντίληψη συμβόλου’ αποτελεί συστατικό της ευρύτερης διαδικασίας απόδοσης νοήματος στα μαθηματικά, και συνιστά το βασικότερο στόχο της μαθηματικής εκπαίδευσης, γι’ αυτό θα πρέπει να γίνει αναπόσπαστο μέρος των μαθηματικών εργαλείων τόσο του μαθητή όσο και του εκπαιδευτικού, έτοιμο να ενεργοποιηθεί όταν χρειαστεί. Σε διδακτικό επίπεδο, αυτό σημαίνει τη συγκρότηση μαθηματικών δραστηριοτήτων οι οποίες, μέσα από κατάλληλες προσεγγίσεις παρέχουν στους μαθητές ευκαιρίες διαμόρφωσης της ‘αντίληψης συμβόλου’. Συνοψίζοντας, ο ρόλος των συμβόλων στις διαδικασίες μάθησης και διδασκαλίας των μαθηματικών χρήζει ειδικής μελέτης. Είναι δυνατό για ένα μαθητή να επιτύχει στα μαθηματικά μαθαίνοντας απλώς να χειρίζεται τα μαθηματικά σύμβολα, χωρίς να τα κατανοεί. Ωστόσο, προτεραιότητα για το παιδί αποτελεί η κατανόηση του νοήματος των ιδεών, παράλληλα ή ταυτόχρονα με την ικανότητα χειρισμού των συμβολικών τους αναπαραστάσεων. Παρόλα αυτά, στο σημερινό σχολείο συμβαίνει ακριβώς το αντίθετο. Τα παιδιά συχνά μαθαίνουν πώς να χειρίζονται ‘ετικέτες’ χωρίς περιεχόμενο. Αυτό επιτυγχάνεται σύντομα και με ευκολία, αλλά είναι ιδιαίτερα προβληματικό σε μακροπρόθεσμη βάση.

(ΣΥΝΕΧΙΖΕΤΑΙ)

Αλέξανδρος Α. Αλεξανδρίδης

Επιβλέπων Καθηγητής
Παναγιώτης Σπύρου

Αθήνα, Ιούνιος 2010

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ &
ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ
ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ – ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ

About sooteris kyritsis

Job title: (f)PHELLOW OF SOPHIA Profession: RESEARCHER Company: ANTHROOPISMOS Favorite quote: "ITS TIME FOR KOSMOPOLITANS(=HELLINES) TO FLY IN SPACE." Interested in: Activity Partners, Friends Fashion: Classic Humor: Friendly Places lived: EN THE HIGHLANDS OF KOSMOS THROUGH THE DARKNESS OF AMENTHE
This entry was posted in GLOSSOLOGY and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.