ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (E)


(CYNECHIZETAI APO 18/11/15)

Η διάκριση μεταξύ τύπου και συμβόλου, σε σχέση με τα σημεία, είναι σημαντική σε όρους κοινωνικής σημειωτικής, όχι ως απόλυτη ιδιότητα του σημειοφόρου αλλά μόνο στην έκταση που επηρεάζει αυτούς που εμπλέκονται στη χρήση του σημείου σε κάποια δεδομένη κατάσταση (για ειδικούς σκοπούς). Επί παραδείγματι, ελάχιστες διαφορές σε κάποιο σχέδιο μπορεί για μεν τους χαρτοπαίκτες να αποτελούν θέμα ζωής ή θανάτου, όταν αφορούν παραλλαγές του σχεδίου στο πίσω μέρος των φύλλων της ίδιας τράπουλας, ενώ για τους συλλέκτες οι διαφορές στο στυλ των σχεδίων κάθε τύπου φύλλου (π.χ. του άσσου σπαθί) μπορεί να εκτιμώνται ιδιαίτερα ως διακεκριμένο χαρακτηριστικό διαφορετικών τραπουλών. Θίξαμε την προβληματική διάκριση μεταξύ μορφής και περιεχομένου. Ο γλωσσολόγος Louis Hjelmslev (1963) προσπάθησε να λύσει το πρόβλημα εισάγοντας την έννοια ότι τόσο η έκφραση όσο και το περιεχόμενο έχουν ουσία και μορφή. Στο πλαίσιο αυτό τα σημεία έχουν τέσσερις διαστάσεις. Ο θεωρητικός του κινηματογράφου Christian Metz υιοθέτησε τη παρακάτω μήτρα (Tudor 1974, 110; Baggaley & Duck 1976, 149; Metz 1981)

image

Χρησιμοποιώντας ένα υπόδειγμα βασισμένο σ’ αυτό του Roman Jakobson (προσαρμοσμένο από τον Dell Hymes), οι Thwaites et al. αναφέρουν επτά λειτουργίες του σημείου, που τις θεωρούν όλες ‘αναγκαίες για κάθε δραστηριότητα σημειοδότησης’ (Thwaites et al. 1994, 18).

Λειτουργίες σημασίας

• αναφορικές: αναφέρεται σε κάποιο περιεχόμενο

• μεταγλωσσικές: προτείνει τους κώδικες μέσα στους οποίους το σημείο μπορεί να ερμηνευθεί

• τυπικές: η τυπική του δομή και φόρμα

Λειτουργίες προσαγόρευσης

• εκφραστικές: δημιουργία ενός αγορητή (πρόσωπο συγγραφέα);

• παρορμητικές: δημιουργία ενός προσαγορευόμενου (ιδεώδης αναγνώστης);

• φατικές: δημιουργία της σχέσης μεταξύ αγορητή και προσαγορευόμενου;

Λειτουργίες πλαισίου

• η κοινωνική περίσταση μέσα στην οποία λειτουργεί το σημείο (ibid., 7- 19; δες επίσης Stam et al. 1992, 15-17, Guiraud 1975, 6ff και Fiske & Hartley 1978, 83-4). Από μια σκοπιά καθαρά κοινωνικής σημειωτικής, οι Gunther Kress και Theo van Leeuwen διασκευάζουν ένα γλωσσολογικό υπόδειγμα του Michael Halliday και επιμένουν ότι κάθε σημειωτικό σύστημα έχει τρεις ουσιώδεις μεταλειτουργίες:

• την ιδεατή μεταλειτουργία – «να αναπαριστά, με μιαν αναφορική η ψευδο-αναφορική έννοια, πλευρές του κόσμου των εμπειριών έξω από το συγκεκριμένο σύστημα σημείων»

• τη διαπροσωπική μεταλειτουργία – «να προβάλει τις σχέσεις μεταξύ του παραγωγού ενός σημείου… και του δέκτη/αναπαραγωγού του σημείου αυτού»

• την κειμενική μεταλειτουργία – «να δημιουργεί κείμενα, συμπλέγματα σημείων συνεπή εσωτερικά αλλά και μέσα στο πλαίσιο εντός του οποίου και για το οποίο παράγονται» (Kress & van Leeuwen 1996, 40-41) Ειδικά σημειωτικά συστήματα ονομάζονται κώδικες.

2.2 Η επικοινωνία στα μαθηματικά: μια σημειωτική προσέγγιση1

Καθοριστικός είναι ο ρόλος της επικοινωνίας στη δόμηση και ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης και πράξης πέρα από κάθε αμφισβήτηση. Η παρατήρηση μιας μαθηματικής δραστηριότητας ή ενέργειας σε οποιοδήποτε επίπεδο οδηγεί στη διαπίστωση ότι οι συμμετέχοντες εμπλέκονται σε μια διαδικασία επικοινωνίας, είτε ασχολούνται με τη μελέτη ή τη σύνταξη γραπτών κειμένων, που υπακούουν σε τυπικούς (formal) κανόνες, είτε συνδιαλέγονται μεταξύ τους προφορικά (άτυπη – informal – επικοινωνία), συζητώντας, χειρονομώντας, σχεδιάζοντας εικόνες/ διαγράμματα κτλ. Σε κάθε περίπτωση ο λόγος που παράγεται αποτελείται από μίξη λέξεων, προτάσεων και εκφράσεων της καθημερινής γλώσσας με μαθηματικά σημάδια, σημεία, σύμβολα, διαγράμματα και σχήματα, τα οποία χρησιμοποιούνται με κάποιο συστηματικό και από πριν συμφωνημένο τρόπο. Το παραπάνω πλαίσιο αποτυπώνει τη γνωστή από τη βιβλιογραφία σχέση μεταξύ γλώσσας και μαθηματικών. Η σχέση αυτή μπορεί να ερμηνευτεί με δύο τρόπους, που ο ένας δεν αποκλείει τον άλλο: η γλώσσα μπορεί να θεωρηθεί ως αναπόσπαστο και σημαντικό μέρος της οικοδόμησης της μαθηματικής γνώσης ή τα μαθηματικά μπορούν να θεωρηθούν κατεξοχήν δραστηριότητα γλωσσικού χαρακτήρα. Η γλωσσική φύση των μαθηματικών έχει απασχολήσει αρκετούς ερευνητές στο χώρο της μαθηματικής εκπαίδευσης.

Ο Brown (1996) υποστηρίζει, για παράδειγμα, ότι τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα, ο Pimm (1987) προσδιορίζει τη σχέση μεταξύ μαθηματικών και γλώσσας ως σχέση αναλογίας και o Wittgenstein (1974) θεωρεί ότι η μαθηματική γνώση και αλήθεια βασίζονται σε γλωσσικές συμβάσεις. Ο Vile (1996) αποδίδει την έλλειψη συμφωνίας για τη διαλεκτική σχέση μαθηματικών/ γλώσσας στις διάφορες θεωρητικές προσεγγίσεις οι οποίες ανταγωνίζονται μέσα στο ίδιο οντολογικό πλαίσιο που συνίσταται στη διάκριση της εμπειρίας σε εσωτερική και εξωτερική. Ο ίδιος υιοθετεί την τριχοτόμηση της εμπειρίας που υιοθέτησε ο Peirce. Ο Peirce (1868), για να αντιμετωπίσει το διαχωρισμό του υποκειμενικού από το αντικειμενικό με έννοιες σημειωτικής, εισήγαγε μια τρίτη κατηγορία, την αναπαράσταση (σημείο) και υιοθέτησε την έννοια του ερμηνευτή ως το τρίτο στοιχείο στο σημειωτικό τρίγωνο (σχήμα 1).

«Ένα σημείο είναι κάτι που αντικαθιστά κάτι άλλο για κάποιον άνθρωπο μέσω κάποιας σχέσης ή ικανότητας. Απευθύνεται σε κάποιον, δηλαδή δημιουργεί στο νου αυτού του προσώπου ένα ισοδύναμο σημείο, ή ίσως ένα πιο αναπτυγμένο σημείο. Αυτό το σημείο που δημιουργεί το ονομάζω ερμηνευτή του πρώτου σημείου. Το σημείο παίρνει τη θέση κάποιου, του αντικειμένου» (Peirce 1955 στο Παπαγιώργης, επιμ. και μετφ., 1981)

image

Η αξία του ορισμού αυτού εντοπίζεται στο ότι (i) συνδέει τα αντικείμενα του πραγματικού κόσμου με τα σημεία που τα αναπαριστούν, (ii) εξαρτά τη σημασία ενός σημείου από τη γνώση που έχει ο ερμηνευτής για τον κόσμο και από την ικανότητά του να ερμηνεύει νέα σημεία και (iii) ενεργοποιεί την έννοια της ‘πληροφορίας’ δηλώνοντας ότι το αντικείμενο είναι εκείνο που επιβάλλει τη φόρμα του στο σημείο, καθορίζοντας έτσι τη δομή του.

Στο πλαίσιο αυτής της αντίληψης, κατά τον Vile, τα μαθηματικά αντιμετωπίζονται ως ανθρώπινη προσπάθεια που παρακινείται από το σημείο και επιτυγχάνεται με τη μεσολάβησή του. πρόκειται για διαδικασία αλληλεπίδρασης μεταξύ ατόμων και πολιτισμών στην προσπάθεια δημιουργίας μαθηματικών νοημάτων μέσα στο ιστορικό και κοινωνικό γίγνεσθαι και στο φως των εμπειριών μας γι’ αυτό.

«Μια σημειωτική περιγραφή των μαθηματικών συνδέεται με μια οντολογία (και επιστημολογία) η οποία αντικαθιστά τη δυαδικότητα υποκείμενο- αντικείμενο με την τριαδικότητα σημείο- αντικείμενο- ερμηνευτής και με μια συσχετιζόμενη τριμερή διαίρεση της εμπειρίας. Θέλω να προτείνω ότι η υιοθέτηση αυτής της τριαδικής περιγραφής του τρόπου με τον οποίο αλληλεπιδρούν τα σημεία και ο κόσμος μπορεί να διαμορφώσει ένα πλαίσιο συζήτησης για τη φύση των μαθηματικών, της μαθηματικής δραστηριότητας (και της μαθηματικής εκπαίδευσης) το οποίο θα εξασφάλιζε ένα χώρο μεταφοράς (metaphorical space) όπου μπορούν να συνυπάρξουν οι φανερά διαφορετικές μεταξύ τους απόψεις για την κοινωνική και γλωσσική φύση των μαθηματικών» (Viele, 1996).

Η παραπάνω σημειωτική θεώρηση ενέχει το πλεονέκτημα της παρουσίασης των μαθηματικών ως μιας ανθρώπινης δραστηριότητας που εξελίσσεται ενεργητικά, η αντικειμενικότητα της οποίας δεν είναι προκαθορισμένη αλλά ερμηνεύεται τόσο στο ατομικό όσο και στο κοινωνικό επίπεδο και είναι προσβάσιμη μέσω των σημείων και των συμβόλων της.

2.3 Σημείο, σύμβολο και η σχέση τους με το αντικείμενο στα μαθηματικά

Από πολύ νωρίς η μαθηματική επιστήμη προχώρησε στην εισαγωγή και χρήση μιας μεγάλης ποικιλίας σημείων για την επεξεργασία και την ανάπτυξη των μαθηματικών ιδεών, καθιστώντας καθοριστικό το ρόλο τους στην περαιτέρω εξέλιξή της. Με το πέρασμα του χρόνου, μόνο ένας αριθμός τους επιβίωσε με κυριότερη αιτία, μεταξύ των άλλων, την ανταπόκριση στους νόμους της ευχρηστίας, της συνέπειας και της λειτουργικότητας. Η ενότητα αυτή εξετάζει τη σχέση μεταξύ σημείου και αντικειμένου με ιδιαίτερη αναφορά στα μαθηματικά. Η μελέτη των σημείων σε οποιοδήποτε γνωστικό πεδίο προϋποθέτει τη διερεύνηση της φύσης της σχέσης μεταξύ σημείου και αντικειμένου. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω ο Peirce (1955) διακρίνει τρεις τύπους σημείων με βάση αυτή τη σχέση: Εικόνα/εικονικός (όταν υπάρχουν κοινές ιδιότητες του σημείου και του αντικειμένου π.χ. ο χάρακας και η ευθεία γραμμή), Ενδείκτης/ενδεικτικός (όταν η σχέση μεταξύ σημείου και αντικειμένου καθορίζεται από την επιρροή που ασκεί το αντικείμενο στο πλαίσιο που διαμορφώνεται, δηλαδή η σημασία της εξαρτάται από τα συν-κείμενα (context) π.χ. η πτώση του δείκτη ενός βαρομέτρου) και το Σύμβολο/συμβολικός (όταν η σχέση σημείου-αντικειμένου καθορίζεται συμβατικά π.χ. «5»). Γίνεται φανερό ότι η εικόνα αποτελεί τον απλούστερο τύπο σημείου και το σύμβολο τον πιο σύνθετο. Επιπλέον, υπάρχει μια σχέση εγκλεισμού μεταξύ των εικόνων, των δεικτών και των συμβόλων: κάθε δείκτης περιέχει μια εικόνα και κάθε σύμβολο ένα δείκτη.

Συνεπώς, στο πλαίσιο αυτό, η εικόνα συνδέει μία εικόνα με μία προηγούμενη, η οποία απλώνεται από το παρόν στο παρελθόν, ο δείκτης περικλείει μια συνέχεια που συνδέεται με το χαρακτήρα του πλαισίου που διαμορφώνεται, δηλαδή έχει το χαρακτήρα της παρούσας εμπειρίας και τέλος, το σύμβολο βιώνεται μόνο αν πληρούνται ορισμένες προϋποθέσεις και επομένως, σε σχέση με το ομοίωμα και το δείκτη, είναι ανεξάρτητο του χρόνου και του χώρου και γι’ αυτό αποτελεί το πιο κυρίαρχο σημείο. Την ίδια περίπου εποχή που γίνεται γνωστό το έργο του Peirce αλλά ανεξάρτητα από αυτό, ο Saussure (1974) καθιερώνει την επιστήμη της σημειολογίας ως τον κλάδο «που μελετά τη ζωή των (γλωσσικών) σημείων μέσα στην κοινωνία … (που) φανερώνει από τι συγκροτούνται τα σημεία, ποιοι νόμοι τα διέπουν». Ο Saussure δεν ενδιαφερόταν για τα μη γλωσσικά σημεία, ωστόσο, η θεωρία του και ειδικότερα η διάκριση μεταξύ σημαινόμενου (signified) και σημαίνοντος (signifier) και η αρχή ότι η σχέση μεταξύ σημαινόμενου και σημαίνοντος είναι αυθαίρετη, επηρέασε ιδιαίτερα το πεδίο της σημειωτικής. Αρκετά νωρίτερα ο Morris (1938), κινούμενος σε γενικές γραμμές στο ίδιο θεωρητικό πλαίσιο με τον Peirce, είχε θεωρήσει ότι το σύμβολο ως ειδική περίπτωση σημείου που παράγεται συμβατικά και έχει μια συμβατική, συνήθως αυθαίρετη σχέση με αυτό που συμβολίζει. Όσον αφορά τη σχέση μεταξύ συμβόλου και αντικειμένου, ο Morris διακρίνει επίσης τα σύμβολα από τα ομοιώματα. Το γεγονός, για παράδειγμα, ότι τα γράμματα χ, ψ, z χρησιμοποιούνται για να αναπαραστήσουν μεταβλητές, ενώ τα γράμματα α, β, γ για να αναπαραστήσουν παραμέτρους είναι τελείως αυθαίρετο. Ωστόσο, το σημείο «>» στη σχέση «α>β» είναι ομοίωμα όσον αφορά τη σχέση διάταξης που αναπαριστά, ενώ η έκφραση «το α είναι μεγαλύτερο από το β» είναι και πάλι συμβολική.

Αρκετά νωρίτερα ο Morris (1938), κινούμενος σε γενικές γραμμές στο ίδιο θεωρητικό πλαίσιο με τον Peirce, είχε θεωρήσει ότι το σύμβολο ως ειδική περίπτωση σημείου που παράγεται συμβατικά και έχει μια συμβατική, συνήθως αυθαίρετη σχέση με αυτό που συμβολίζει. Όσον αφορά τη σχέση μεταξύ συμβόλου και αντικειμένου, ο Morris διακρίνει επίσης τα σύμβολα από τα ομοιώματα. Το γεγονός, για παράδειγμα, ότι τα γράμματα χ, ψ, z χρησιμοποιούνται για να αναπαραστήσουν μεταβλητές, ενώ τα γράμματα α, β, γ για να αναπαραστήσουν παραμέτρους είναι τελείως αυθαίρετο. Ωστόσο, το σημείο «>» στη σχέση «α>β» είναι ομοίωμα όσον αφορά τη σχέση διάταξης που αναπαριστά, ενώ η έκφραση «το α είναι μεγαλύτερο από το β» είναι και πάλι συμβολική. Ο Chao (1968) εισάγει την ιδέα του «συμβόλου ενός συμβόλου» σύμφωνα με την οποία ένα σύμβολο μπορεί να συμβολίζει ένα άλλο. Για παράδειγμα, η γλώσσα είναι το σύμβολο των πραγμάτων, ενώ ο γραπτός λόγος είναι το σύμβολο της γλώσσας. Ο Chao κάνει δύο σημαντικές για τα μαθηματικά παρατηρήσεις: στην τυπική λογική και στα μαθηματικά είναι συχνά απαραίτητος ο επάλληλος συμβολισμός, για παράδειγμα, η καθημερινή γλώσσα σε ένα μετα-επίπεδο (μετα-γλώσσα) χρησιμοποιείται για να ‘μιλήσουμε’ για τα μαθηματικά σύμβολα (πρώτης τάξης γλώσσα). Επιπρόσθετα, η διάκριση μεταξύ αντικατάστασης (ή μετονομασίας) και συμβολισμού είναι απαραίτητη π.χ. το σύμβολο Α στον τύπο της εύρεσης του εμβαδού ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου Α= π x μ δεν είναι σύμβολο για το σύμβολο π x μ, αλλά ένα άλλο σύμβολο γι’ αυτό που συμβολίζεται από το π x μ. Τα μαθηματικά, ως ο κατεξοχήν χώρος των σημείων και των συμβόλων, αποτέλεσαν πεδίο μελέτης πολλών θεωρητικών του είδους.

Η Langer (1955) υποστηρίζει ότι «.. η μυστική δύναμη των μαθηματικών .. (βρίσκεται) .. στο γεγονός ότι ένας μαθηματικός δεν ισχυρίζεται ότι λέει κάτι για την ύπαρξη, την πραγματικότητα ή την αποτελεσματικότητα των πραγμάτων. Φροντίδα του είναι η δυνατότητα συμβολισμού των πραγμάτων και των πιθανών σχέσεών τους. Οι ‘οντότητές’ του δεν είναι ‘δεδομένα’ αλλά ‘έννοιες’». Και ο Peirce (στο Eisele, 1964) υπογραμμίζει την  εννοιολογική φύση των μαθηματικών θεωρώντας ότι όλα τα αντικείμενα του μαθηματικού συλλογισμού είναι υποθετικά. Ισχυρίζεται, ωστόσο, ότι τα αρχικά αντικείμενα του συλλογισμού είναι διαγραμματικά και οι διαδικασίες που εμπλέκονται σε αυτόν καθοδηγούνται από τους χειρισμούς αυτής της συγκεκριμένης αναπαράστασης. Κατά συνέπεια η φύση των μαθηματικών, κατά τον Peirce, είναι τόσο αντιληπτική όσο και εννοιολογική. Ο Peirce διατυπώνει την άποψη ότι «όλη η σκέψη πραγματοποιείται με σημεία» και η διαδικασία σημείωσης (signing process) συνίσταται στην τριαδική συσχέτιση μεταξύ των (συγκεκριμένων) αντικειμένων που εμπλέκονται στο πρόβλημα, των σημείων που αναπαριστούν αυτά τα αντικείμενα και της απόδοσης νοήματος ή σημασίας στα σημεία. Το σημείο αντικαθιστά το αντικείμενο, αναφέρεται σε αυτό αλλά είναι περισσότερο διαθέσιμο από το ίδιο το αντικείμενο (Langer, 1955) (σχήμα 2).

image

Κατά τη Langer, δεν υπάρχει κάποιος επιβεβλημένος, γραμμικός τρόπος μετάβασης από ένα στοιχείο της διαδικασίας σημείωσης σε άλλο. Στις περισσότερες περιπτώσεις τα στοιχεία συνυπάρχουν: τα σημεία χρησιμοποιούνται στη συγκεκριμένη (concrete) αναπαράσταση του προβλήματος για να ‘αιχμαλωτίσουν’ τις σημαντικές, αμοιβαίες σχέσεις. Η έννοια που αποδίδει η Langer στη διαδικασία σημείωσης διαφέρει από αυτήν των Huttenlocher και Higgins (1978 στο Chaffe-Stengel και Noddings, 1982). Οι τελευταίοι υποστηρίζουν ότι παρά το γεγονός ότι δεν υπάρχει κάποιος επιβεβλημένος, γραμμικός τρόπος μετάβασης από ένα στοιχείο της διαδικασίας σημείωσης σε άλλο, ωστόσο υπάρχει μια σειρά η οποία έχει καθιερωθεί από συνήθεια και έχει μεγαλύτερες πιθανότητες από κάθε άλλη να ενεργοποιήσει τα στοιχεία της διαδικασίας σημείωσης (Σχήμα 3).

Οι Huttenlocher και Higgins (1975) διακρίνουν τη διαδικασία σημείωσης από μια πλήρως αναπτυγμένη διαδικασία συμβολισμού (symbolic process) με βάση το γεγονός ότι στην τελευταία η λειτουργία των δεσμών συνίσταται στην ανάκληση των στοιχείων τα οποία συνδέονται. Η Langer (στο Chaffe-Stengel και Noddings, 1982) κάνει την ίδια διάκριση όταν γράφει: «τα σύμβολα δεν είναι πληρεξούσια των αντικειμένων αλλά οχήματα για τη σύλληψη των αντικειμένων…. τα σημεία ανακοινώνουν τα αντικείμενα (σε μας), ενώ τα σύμβολα (μας) οδηγούν στο να συλλάβουμε τα αντικείμενά τους». Ωστόσο, οι Huttenlocher και Higgins προχωρούν περισσότερο, καθώς θεωρούν ότι η διαδικασία συμβολισμού περιλαμβάνει μια αμετάβλητη λειτουργική σχέση ανάμεσα στα στοιχεία και άρα είναι διπλής κατεύθυνσης. Επομένως, ο τρόπος με τον οποίο αντιλαμβάνονται τη διαδικασία συμβολισμού είναι παρόμοιος με αυτόν της σημείωσης (σχήμα 3).

image

Οι Chaffe-Stengel και Noddings συμφωνούν με το γεγονός ότι οι συμβολικές σχέσεις είναι, κατά κάποιο τρόπο, αμετάβλητες, θεωρούν, ωστόσο, ότι οι διαδικασίες συμβολισμού δε διαφέρουν πολύ από αυτές της σημείωσης. Συγκεκριμένα υποστηρίζουν ότι η διαδικασία συμβολισμού είναι ριζωμένη και απορρέει από τη διαδικασία σημείωσης. Εξετάζοντας το σχήμα που προτείνεται από τους ίδιους (βλ. σχήμα 4) διαφαίνεται ότι:

• ο πυρήνας της διαδικασίας συμβολισμού εντοπίζεται σε μια αμετάβλητη, ένα- προς-ένα συσχέτιση του σημείου με το αντικείμενο, η οποία διατηρείται κατά τη διάρκεια επαναλαμβανόμενων διαδικασιών συμβολισμού,

• η συμβολική κατανόηση στηρίζεται σε διαδικασίες σημείωσης,

• η συμβολική κατανόηση αυξάνεται με επαναλαμβανόμενες επεκτάσεις της βασικής τριαδικής σχέσης που συνδέει σημείο, αντικείμενο και σημασία,

• διαδοχικές επαναλήψεις πάνω στην αρχική διαδικασία σημείωσης ενοποιούν το νέο σύμβολο σε κάποια υπάρχουσα συμβολική κατανόηση, θέτοντας το νέο σύμβολο σε αντίθεση και σύγκριση με υπάρχοντα σύμβολα και

• διαδοχικές επαναλήψεις πάνω στην αρχική διαδικασία σημείωσης επιφέρουν μικρές διαφοροποιήσεις στο αρχικό νόημα που επιτεύχθηκε στο επίπεδο της σημείωσης. Οι Chaffe-Stengel και Noddings περιγράφουν τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποίησαν την παραπάνω σημειωτική ανάλυση για να διδάξουν τη συμβολική κατανόηση των ρητών αριθμών και συγκεκριμένα την πρόσθεση ετερώνυμων κλασμάτων.

Μέσα από μια ακολουθία εννοιών, οι οποίες διευκολύνουν τη μετάβαση από τις πράξεις με φυσικούς αριθμούς στις πράξεις με κλάσματα και με την ανάδειξη κατά τη διαδικασία του γεγονότος ότι οι πράξεις είναι συνεπείς/ σταθερές σε όλη την τάξη των ρητών αριθμών, οι συγγραφείς πιστεύουν ότι οι μαθητές που έχουν επιτύχει τη συμβολική ενοποίηση των φυσικών αριθμών ενθαρρύνονται να χρησιμοποιήσουν αυτό το είδος κατανόησης για να διευκολυνθούν στην κατανόηση όλων των ρητών αριθμών.

Στην ενότητα αυτή εξετάστηκε η σχέση μεταξύ σημείων και συμβόλων και η σχέση των διαδικασιών σημείωσης και συμβολισμού. Η πληθώρα σημείων και κυρίως συμβόλων που χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά αποδίδει κεντρικό ρόλο στην ικανότητα χειρισμού τους ως προς την κατανόηση του αντικειμένου. Ο επιτυχής χειρισμός ενός μαθηματικού συμβόλου προϋποθέτει τη σύνδεση από το χρήστη του συμβόλου με κάποιο νόημα μέσα από τη διαδικασία συμβολισμού και σε τέτοιο βαθμό γενίκευσης, ώστε το σύμβολο δεν είναι απλώς ένα σημαίνον ενός αντικειμένου αλλά μετατρέπεται το ίδιο σε αντικείμενο για χειρισμό. Στην επόμενη ενότητα εξετάζεται ο ρόλος των μαθηματικών συμβόλων στην κατανόηση και στη μάθηση των σχολικών μαθηματικών.

image

 

(ΣΥΝΕΧΙΖΕΤΑΙ)

Αλέξανδρος Α. Αλεξανδρίδης

Επιβλέπων Καθηγητής
Παναγιώτης Σπύρου

Αθήνα, Ιούνιος 2010

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ &
ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ
ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ – ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

1.Άρθρο του Χ. Σακονίδη Μαθηματικά σημεία και σύμβολα: σημειωτικές, ψυχολογικές και παιδαγωγικές αναζητήσεις

About sooteris kyritsis

Job title: (f)PHELLOW OF SOPHIA Profession: RESEARCHER Company: ANTHROOPISMOS Favorite quote: "ITS TIME FOR KOSMOPOLITANS(=HELLINES) TO FLY IN SPACE." Interested in: Activity Partners, Friends Fashion: Classic Humor: Friendly Places lived: EN THE HIGHLANDS OF KOSMOS THROUGH THE DARKNESS OF AMENTHE
This entry was posted in GLOSSOLOGY and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s