Η γραφή των αριθμών στο Ιωνικό αλφαβητικό σύστημα αρίθμησης και η χρήση τους σε κείμενα αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών (Β)


(ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΑΠΟ 10/08/15 ως παρακαμψις κυριου αρθρου)

ΣΥΝΘΕΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ «ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ»

image

..και μην αριθμόν, έξοχον σοφισμάτων, εξηύρον αυτοίς.. (Αισχύλος, Προμηθέας  Δεσμώτης)

Τα μέλη της ομάδας που ασχολήθηκαν με την εκπόνηση αυτής της εργασίας είναι οι μαθητές της α’ γυμνασίου Εμμανουήλ-Γιώργος Αρχοντάκης, Ιωάννα Παπιδάκη, Εμμανουέλλα Τσάλου και Τζίνα Χανιωτάκη. Την επίβλεψη είχε η καθηγήτρια Ειρήνη Παπαθανασίου.
Η εργασία αυτή πραγματοποιήθηκε κατά τη διάρκεια του σχολικού έτους 2012 – 2013.

image

 

Εισαγωγή
Τα μαθηματικά πιστεύουμε ότι είναι ένα από τα πιο σημαντικά πολιτιστικά συστατικά κάθε σύγχρονης κοινωνίας. Η επιρροή τους πάνω σε άλλα πολιτιστικά στοιχεία είναι τόσο θεμελιώδης και διάχυτη, που επιβεβαιώνει την άποψη πως οι «πιο σύγχρονοι» τρόποι ζωής μας δεν θα υπήρχαν χωρίς τα μαθηματικά. Η τέχνη και των πιο απλών λογαριασμών είναι αρκετή απόδειξη.
Αυτό που πραγματικά είναι αναπόφευκτο, είναι ότι κάθε μορφή ζωής που δημιουργεί πολιτισμό και τον αναπτύσσει θα δημιουργεί και μαθηματικά. Όλοι οι πολιτισμοί που  έχουν ανακαλυφθεί και μελετηθεί στον πλανήτη μας έχουν αναπτύξει κάποια μορφή μέτρησης.
Ο άνθρωπος δεν παρουσιάστηκε προικισμένος από τα φύση με τη γνώση ενός αριθμητικού συστήματος ή κάποιων γεωμετρικών νόμων. Όλα αυτά έπρεπε να τα επινοήσει και έπρεπε να υπάρξει κάποιο κίνητρο για να τα επινοήσει.
Μια πολύ γνωστή σχολή μαθηματικής σκέψης υποστηρίζει ότι όλα τα μαθηματικά πρέπει να θεμελιώνονται πάνω στους αριθμούς με τους οποίους μετράμε – τους 1,2,3, κ.ο.κ. – που είναι γνωστοί ως φυσικοί αριθμοί. Βέβαια, από εξελικτική άποψη, αυτή η τοποθέτηση είναι δικαιολογημένη, αφού όλα τα στοιχεία – ανθρωπολογικά και ιστορικά – δείχνουν ότι η μέτρηση και, σε τελευταία ανάλυση, τα αριθμητικά συστήματα, σαν εργαλεία μέτρησης, αποτελούν το πρώτο στάδιο εισαγωγής του μαθηματικού στοιχείου σε όλους τους πολιτισμούς που δεν έχουν επηρεαστεί από διάχυση (Διάχυση : ένας πολιτισμός που απορροφά ή δημιουργεί πάνω σ’ έναν άλλο,παίρνοντας από τον τελευταίο πολιτιστικά στοιχεία). Οι ανθρωπολόγοι έχουν βρει κάποια μορφή μέτρησης σε όλους του πρωτόγονους πολιτισμούς, ακόμα και στους πιο πρωτόγονους απ’ αυτούς που έχουν παρατηρηθεί, έστω και αν αυτή περιορίζεται σε λίγες μόνο αριθμητικές λέξεις.
Οι αριθμητικές λέξεις είναι συνήθως ανάμεσα στους πρώτους λεκτικούς τύπους μια γραπτής γλώσσας. «Τόσο στη Σουμερία όσο και στην Αίγυπτο, υπάρχουν κείμενα, προγενέστερα των πιο παλιών σωζόμενων δειγμάτων γραφής, που χρησιμοποιούν ένα συμβατικό σύστημα αρίθμησης. Πάντως πέρασαν πολλά εκατομμύρια χρόνια για να φτάσει ο προϊστορικός άνθρωπος στην αρίθμηση με τα δάκτυλα και μετά χρειάστηκαν πολλές χιλιετίες για την γραφή και ονομασία απλών φυσικών αριθμών και μεγάλες προσπάθειες για να εκτελούν αριθμητικές πράξεις.
Στην πραγματικότητα, η μέτρηση είναι μια διαδικασία, κατά την οποία καθορίζεται μια αντιστοιχία ανάμεσα στα αντικείμενα που μετράμε και σε ορισμένα σύμβολα, προφορικά ή γραπτά. Τα σύμβολα που χρησιμοποιούμε σήμερα είναι εκείνα των φυσικών αριθμών – 1,2,3, κλπ. Θα μπορούσαν, όμως, να χρησιμοποιηθούν και οποιαδήποτε άλλα σύμβολα, όπως χαραγές πάνω σε ξύλο, κόμποι σε σπάγκο ή σημάδια πάνω σε χαρτί, όπως

image

Όλα αυτά επαρκούν για απλές μετρήσεις. Η μέτρηση, λοιπόν, είναι μια συμβολική διαδικασία που χρησιμοποιεί μόνο ο άνθρωπος, το μοναδικό ζώο – δημιουργός συμβόλων.
Όσο καιρό τα σύμβολα για τους αριθμούς ήταν μόνο προφορικά, δε φαίνεται να υπήρξε μεγάλη πρόοδος στην εξέλιξη του αριθμού. Δεν εννοούμε, βέβαια, ότι δεν εισαχθήκανε λέξεις για τη μέτρηση μεγάλου αριθμού αντικειμένων ή ότι δεν ήταν δυνατόν να εισαχθούν, αφού σε ορισμένους πολιτισμούς αυτό συνέβη. Η μεγάλη, όμως, πρόοδος στην εννοιολογική υπόσταση του αριθμού πραγματοποιήθηκε με την εισαγωγή ιδεογραφημάτων. Αυτό δεν πρέπει να εκπλήσσει, αφού η απλή αριθμητική, δύσκολα μπορεί να αναπτυχθεί χωρίς τέτοια σύμβολα.
Στη σύγχρονη άλγεβρα, τα αριθμητικά συστήματα παίρνουν πολυποίκιλες μορφές ανάλογα με τις ανάγκες της μαθηματικής θεωρίας ή των νέων εφαρμογών. Πολύ γενικά (και προσεγγιστικά), θεωρούμε ότι «Αριθμητικό σύστημα» είναι κάθε σύνολο τα στοιχεία του οποίου μπορούν να συνδυαστούν με δύο πράξεις, που συμβολίζονται ως + και x και ικανοποιούν ορισμένες στοιχειώδεις ιδιότητες. Αυτές οι ιδιότητες είναι ανάλογες με αυτές που ικανοποιεί η πρόσθεση (+) και ο πολλαπλασιασμός (x) της κοινής αριθμητικής – της αριθμητικής, για παράδειγμα , των φυσικών ή των πραγματικών αριθμών.
Δύο λόγια για τη γραφή…….
Η γραφή γινόταν σε παπύρους, πήλινες πλάκες και πολύ αργότερα σε χαρτί με πρώτους τους Κινέζους από τον 2ο μ.Χ. αιώνα. Οι Άραβες δημιούργησαν, το 794 μ.Χ., χαρτοποιείο στη Βαγδάτη, ενώ στην Ευρώπη δημιουργήθηκε το 1154.
Κάτι σαν περιεχόμενα………
Στην ανάπτυξη της εργασίας μας κάνουμε μια σύντομη ιστορική αναδρομή σε συστήματα αρίθμησης του παρελθόντος. Στη συνέχεια, αναφέρουμε ποια από αυτά τα συστήματα αρίθμησης χρησιμοποιούμε σήμερα, που και γιατί.
Αντί προλόγου…..
Όλες, σχεδόν, οι πρωτόγονες φυλές επινόησαν, σε κάποιο βαθμό, λέξεις για τους αριθμούς. Μόνο, όμως, όταν οι αρχαίοι πολιτισμοί, όπως ο Σουμεριοβαβυλωνιακός, ο Κινέζικος και ο πολιτισμός των Μάγια, ανέπτυξαν το εμπόριο, την αρχιτεκτονική, τη φορολογία και άλλα στοιχεία «πολιτισμού», τότε μόνο επινοήθηκαν αριθμητικά συστήματα.

Ας δούμε τώρα μερικά αριθμητικά συστήματα, από την αρχαιότητα ως σήμερα, που ήταν και είναι σημαντικά στην εξέλιξη – καλλιέργεια – ανάπτυξη των μαθηματικών.
Τ α μ α θ η μ α τ ι κ ά σ τ ο υ ς Σο υ μ έ ρ ι ο υ ς
Ήδη απ’ την 8η χιλιετία π.Χ. οι κάτοικοι της περιοχής που έμελλε να κατοικήσουν οι Σουμέριοι, (Μεσοποταμία) χρησιμοποιούσαν ένα σύστημα αριθμητικής καταγραφής βασισμένο σε μικρές πήλινες “μάρκες” (tokens), τουλάχιστον όσον αφορά στην καταμέτρηση γεωργικών προϊόντων . Φαίνεται λοιπόν ότι, βρισκόμαστε μπροστά σ’ ένα υψηλό επίπεδο μαθηματικών γνώσεων που βασίζεται σε ένα αριθμητικό σύστημα με βάση τον αριθμό 60.
Έχουν διατυπωθεί πολλές εικασίες σχετικές με την προέλευση της περίεργης βάσης 60 στη Σουμερία. Μια από αυτές αναφέρεται στην επίδραση της Κίνας (όπου επίσης υπήρχε η βάση 60).
Σύμφωνα με τον Νόιγκεμπάουερ: «Στα οικονομικά κείμενα, πρωτεύουσα σημασία είχαν μονάδες βάρους, που μετρούσαν το ασήμι. Αυτές οι μονάδες φαίνεται καθορίστηκαν από πολύ παλιά σε αναλογία 60 προς 1, για τις βασικές μονάδες «mana» (η ελληνική μνα) και «Shekel», ο σίγλος. Παρ’ όλο που οι λεπτομέρειες αυτού του γεγονότος δεν μπορούν να περιγραφούν με ακρίβεια, δεν πρέπει να εκπλήσσει ότι η ίδια αναλογία βρίσκεται και σε άλλες μονάδες, αλλά και στους ίδιους τους αριθμούς γενικότερα. Μ’ άλλα λόγια, κάθε εξηκοστό θα μπορούσε να ονομάζεται «σίγλος», λόγω της εξοικείωσης που υπήρχε μ’ αυτή την έννοια από τις οικονομικές συναλλαγές. Έτσι, η «εξηνταδική» διάταξη έγινε, τελικά, το κύριο αριθμητικό σύστημα».
Δύο σύμβολα, η απλή κατακόρυφη σφήνα που παριστάνει τη μονάδα (1) και η διπλή σφήνα που παριστάνει τη δεκάδα (10), αποτελούν τα μοναδικά “ψηφία”
του συστήματος αυτού το όποιο ήταν θεσιακό, δηλ. η αξία ενός ή περισσότερων ψηφίων καθορίζονταν απ’ τη θέση που αυτό κατείχε μέσα σ’ ένα αριθμό. Οι αριθμοί απ’ το 1 ως το 59 σχηματίζονται με συνδυασμό των δύο βασικών συμβόλων και αριθμοί απ’ το 60 και πάνω γράφονται σαν δυνάμεις του 60.
Αυτό είναι εύκολο να το κατανοήσουμε στο δικό μας δεκαδικό σύστημα, το οποίο είναι επίσης θεσιακό. Για παράδειγμα στον αριθμό 1858, το πρώτο “8” αναφέρεται σε εκατοντάδες , ενώ το δεύτερο “8” σε μονάδες. Όμοια κάθε ψηφίο φανερώνει μια αξία πολλαπλάσια κάποιας δύναμης του δέκα (10), ανάλογα με τη θέση που κατέχει μέσα σ’ ένα αριθμό. Το ίδιο συμβαίνει με τους σουμεριακούς αριθμούς, μόνο που η βάση είναι ο αριθμός 60. Μάλιστα ένα σύμβολο μπορεί να αναφέρεται και σε αρνητικές δυνάμεις του 60 (π.χ. 60-2 για το 1/600) οι οποίες χρησίμευαν όπως και σήμερα για τις υποδιαιρέσεις της μονάδας, αλλά και στην τέλεση της πράξης της διαίρεσης (η διαίρεση α / β ισοδυναμούσε με τον πολλαπλασιασμό α β-1).
Για τα αριθμητικά σύμβολα, οι Σουμέριοι χρησιμοποιούσαν καλάμια με κυκλικά άκρα δύο μεγεθών. Το σύμβολο της μονάδας γινόταν με πίεση του μικρότερου άκρου από πλάγια θέση, παράγοντας κάτι σαν μισοφέγγαρο, ενώ για το συμβολισμό του 10 πίεζαν από κάθετη θέση, με αποτέλεσμα να σχηματίζεται κάτι σαν πανσέληνος.

image

Ιερογλυφικά της Αρχαίας Αιγύπτου
Τα Αιγυπτιακά Ιερογλυφικά είναι τα αρχαιότερα εικονιστικά σύμβολα που χρησιμοποιούνταν στην αρχαία αιγυπτιακή γραφή. Η γραφή αυτή αποκρυπτογραφήθηκε από τον Ζαν-Φρανσουά Σαμπολιόν το 1822, ο οποίος χρησιμοποίησε την περίφημη Στήλη της Ροζέττας.
Τα ιερογλυφικά είναι ιδεογράμματη γραφή που χρονολογείται τουλάχιστον από το 3000 π.Χ. Το αρχαίο αιγυπτιακό αριθμητικό σύστημα βασιζόταν στον αριθμό δέκα αλλά δεν ήταν ένα πλήρες ανεπτυγμένο δεκαδικό σύστημα. Υπήρχαν διαφορετικά ιερογλυφικά σύμβολα για τις μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες, δέκα χιλιάδες και ένα εκατομμύριο. Όταν ήθελαν να γράψουν, π.χ. το δύο ή το εφτά απλά επαναλάμβαναν το σύμβολο της μονάδας όσες φορές χρειαζόταν. Το ίδιο ίσχυε και για τις δεκάδες, χιλιάδες και ούτω καθ’ εξής. Οι αριθμοί μερικές φορές γράφονταν και λεκτικά ,π.χ. «είκοσι» αντί 20, όπως και σήμερα, αλλά αυτό συνηθιζόταν κυρίως μόνο για το ένα και το δύο.

image

Επίσης, το αριθμητικό σύστημα είναι «προσθετικό» όπως καταλαβαίνουμε και από τα παραδείγματα που ακολουθούν.

image

(ΣΥΝΕΧΙΖΕΤΑΙ)

About sooteris kyritsis

Job title: (f)PHELLOW OF SOPHIA Profession: RESEARCHER Company: ANTHROOPISMOS Favorite quote: "ITS TIME FOR KOSMOPOLITANS(=HELLINES) TO FLY IN SPACE." Interested in: Activity Partners, Friends Fashion: Classic Humor: Friendly Places lived: EN THE HIGHLANDS OF KOSMOS THROUGH THE DARKNESS OF AMENTHE
This entry was posted in SCIENCE=EPI-HISTEME and tagged , , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s