ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΟΥΣΙΚΗ ΩΣ ΟΙ ΠΑΛΑΙΟΙ ΕΔΙΔΑΣΚΟΝ (ΙV)


(ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΑΠΟ 15/12/13)

Β΄.2.2 Κυτταρικά αυτόματα και μουσική
Η μουσική υπήρξε πάντα μια ενδιαφέρουσα περιοχή για την εφαρμογή νέων  επιστημονικών μεθόδων, προκαλώντας τους συνθέτες να συνδυάσουν την καλλιτεχνική  τους δημιουργικότητα με τις αυτές. Σήμερα είναι ολοένα και πιο σύνηθες για τους  μουσικούς συνθέτες να στρέφονται στην επιστήμη των υπολογιστών για να βελτιώσουν  και να ολοκληρώσουν το έργο τους. Από την άλλη πλευρά, και οι επιστήμονες  δείχνουν έντονο ενδιαφέρον για τις οργανωσιακές αρχές της μουσικής. Το γεγονός ότι  τα επιστημονικά μοντέλα εμπεριέχουν ένα σημαντικό ποσοστό ανθρώπινης  αφαιρετικής σκέψης, αποτελεί επίσης έμπνευση για την σύνθεση μουσικής, πάντα μέσα  σε ένα διεπιστημονικό πλαίσιο [17].
Η συσχέτιση των κυτταρικών αυτομάτων με την μουσική οφείλεται στο γεγονός ότι η  μουσική βασίζεται κατά κύριο λόγο στο χρόνο και τα μέρη από τα οποία αποτελείται  (μουσικές νότες και μουσικά μοτίβα) είναι διακριτά συμβάντα που εξελίσσονται στο  χρόνο και στο χώρο. Επίσης, η μουσική σύνθεση βασίζεται στην αναπαραγωγή  προτύπων και τον τυπικό χειρισμό των παραμέτρων. Το γεγονός ότι τα κυτταρικά  αυτόματα μπορούν να παράγουν μεγάλες ποσότητες προτυποποιημένων δεδομένων, τα  καθιστά κατάλληλα και για την μοντελοποίηση μουσικής.[1]

CAMUS: Μουσική Μηχανή Βασισμένη στα κυτταρικά αυτόματα
Μία αλγοριθμική μηχανή που παράγει μουσική χρησιμοποιώντας κυτταρικά αυτόματα  είναι το CAMUS (Cellular Automata MUSic). To CAMUS σχεδιάστηκε από τον  Eduardo Reck Miranda και αναπτύχθηκε από τον Kenny McAlpine και τον Stiuart
Hoggar (University of Glasgow) [64].Το CAMUS χρησιμοποιεί δύο αλγόριθμους που  περιγράφουν κυτταρικά αυτόματα: ο πρώτος επινοήθηκε από τον John Horton Conway  και έχει το όνομα ‘Το παιχνίδι της ζωής’ (Game of Life) και ο δεύτερος με το όνομα  ‘Δαιμονικό Κυκλικό Διάστημα’ (Demon Cyclic Space), σχεδιάστηκε από τον David  Griffeath (Dewdney, 1989). Αυτοί οι δυο αλγόριθμοι περιγράφονται παρακάτω:

Το παιχνίδι της ζωής
Το παιχνίδι της ζωής είναι ένα δισδιάστατο κυτταρικό αυτόματο, που αποτελείται από  έναν πίνακα αποτελούμενο από κελιά, κάθε ένα από τα οποία μπορεί να βρίσκεται σε  δύο διαφορετικές καταστάσεις: ζωντανό και αναπαρίσταται με τον αριθμό 1 και νεκρό  και αναπαρίσταται με τον αριθμό 0. Στην απεικόνισή τους στην οθόνη του υπολογιστή,
τα ζωντανά κελιά χρωματίζονται και τα νεκρά κελιά παραμένουν λευκά.
Την κατάσταση ενός κελιού με την πάροδο του χρόνου, καθορίζουν οι καταστάσεις  των οχτώ πλησιέστερων γειτόνων, όπως περιγράφεται από τους ακόλουθους κανόνες:

• Γέννηση : Ένα κελί, το οποίο είναι νεκρό κατά την χρονική στιγμή t,
ζωντανεύει την χρονική στιγμή t + 1, εάν ακριβώς τρεις γείτονές του είναι
ζωντανοί την χρονική στιγμή t.
• Θάνατος από υπερπληθυσμό (overcrowding) : Ένα κελί, το οποίο είναι
ζωντανό κατά την χρονική στιγμή t , πεθαίνει την χρονική στιγμή t + 1, εάν
τέσσερις ή παραπάνω γείτονές του είναι ζωντανοί την χρονική στιγμή t.
• Θάνατος από απομόνωση (exposure) : Ένα κελί , το οποίο είναι ζωντανό κατά
την χρονική στιγμή t , πεθαίνει την χρονική στιγμή t + 1, εάν έχει έναν ή
κανέναν ζωντανό γείτονα την χρονική στιγμή t.
• Επιβίωση : Ένα κελί , το οποίο είναι ζωντανό κατά την χρονική στιγμή t ,
παραμένει ζωντανό την χρονική στιγμή t + 1, μόνο αν έχει δύο ή τρεις
ζωντανούς γείτονες την χρονική στιγμή t.

Υπάρχουν δύο διαφορετικοί συντελεστές που περιγράφουν το περιβάλλον του κάθε  κελιού. Ο πρώτος είναι ο συντελεστής Ε, που περιγράφει των αριθμό των ζωντανών  γειτόνων ενός ζωντανού κελιού, και ο δεύτερος είναι ο συντελεστής F, αναφερόμενος   και σαν συντελεστής γονιμότητας, ο οποίος περιγράφει τον αριθμό των ζωντανών  γειτόνων ενός νεκρού κελιού. Εύλογο είναι το γεγονός ότι και οι δυο συντελεστές είναι  διαφορετικοί για κάθε κελί και για κάθε χρονική στιγμή, καθώς το αυτόματο  εξελίσσεται.
Σε συνάρτηση με αυτούς τους δύο τελεστές, ένα ζωντανό κελί παραμένει ζωντανό όταν  2 ≤ Ε ≤3 και ένα νεκρό κελί ξαναγεννιέται όταν 3≤ F ≤3.
Εναλλακτικά, μπορούν να εφαρμοστούν και άλλοι κανόνες εκτός της ακολουθίας (2, 3,3, 3). Η γενική φόρμα για τέτοιους κανόνες είναι η εξής: (Εmin, Emax, Fmin, Fmax), όπου  Εmin ≤ Ε ≤ Emax και Fmin ≤ F ≤ Fmax .
Υπάρχουν μερικές αρχικές διατάξεις κελιών που οδηγούν σε ενδιαφέρουσες  συμπεριφορές του αυτόματου, λειτουργώντας με τους αυθεντικούς κανόνες του  Conway. Χωρίς να έχει εξακριβωθεί εάν είναι ένα συμπτωματικό γεγονός ή όχι,
οδηγούν επίσης και σε καλύτερα μουσικά αποτελέσματα.

image

Δαιμονικό Κυκλικό Διάστημα
Σε αυτό το κυτταρικό αυτόματο, σε κάθε κελί του πλέγματος μπορούν να αντιστοιχούν  περισσότερες από δυο καταστάσεις. Κάθε μία από τις n διαφορετικές καταστάσεις που  μπορεί να πάρει αναπαρίσταται με διαφορετικό χρώμα και με έναν μοναδικό αριθμό,από 0 μέχρι n – 1. Η εφαρμογή των κανόνων λειτουργεί ως εξής:
Ένα κελί που τυχαίνει να είναι στη θέση k τη χρονική στιγμή t, επηρεάζει κάθε  γειτονικό κελί που βρίσκεται στην κατάσταση k – 1, το οποίο και αλλάζει την  κατάστασή του από k – 1 σε k. Ο κανόνας αυτός μοιάζει με μία αλυσίδα, στην οποία
ένα κελί που βρίσκεται σε μία κατάσταση δύο, επηρεάζει ένα κελί που βρίσκεται στην  κατάσταση ένα, αναγκάζοντάς το να αλλάξει χρώμα, ακόμα και αν το τελευταίο  μπορούσε να επηρεάσει ένα γειτονικό κελί που βρίσκεται στην κατάσταση μηδέν.
Αυτή η αλυσίδα δεν έχει τέλος, αφού θεωρείται ότι ο κόσμος του αυτόματου είναι  κυκλικός και το κελί που βρίσκεται στην κατάσταση 0 επηρεάζει τα γειτονικά κελιά  του που βρίσκονται στην κατάσταση n – 1. Ξεκινώντας από μια τυχαία κατανομή
χρωματιστών κελιών, το αυτόματο σταθεροποιείται σε προσθετικά (patchwork-type)  μοτίβα.

image

Η CAMUS, όπως προαναφέρθηκε, χρησιμοποιεί παράλληλα τα δύο αυτόματα για να  συνθέσει μουσική. Το αυτόματο παιχνίδι της ζωής δημιουργεί τις μουσικές ακολουθίες,ενώ το δαιμονικό κυκλικό διάστημα καθορίζει την ενορχήστρωσή τους (Miranda,1993). Αρχικά, τα κελιά του πρώτου αρχικοποιούνται με την τυχαία κατανομή που έχει  οριστεί και αντιστοιχίζονται στο Καρτεσιανό μοντέλο. Σε κάθε κελί αντιστοιχίζεται  μια τριπλέτα από νότες.

image

Οι συντεταγμένες του κελιού καθορίζουν την απόσταση μεταξύ των νοτών, ή αλλιώς   το διάστημα στη γλώσσα της μουσικής. Αναφορικά με μία νότα R(Reference Note) που  ορίζεται από το χρήστη, η οριζόντια συντεταγμένη δηλώνει την απόσταση της
δεύτερης νότας από την αναφερόμενη νότα, και η κάθετη συντεταγμένη δηλώνει την  απόσταση της τρίτης νότας από την δεύτερη [8]. Για την επιλογή της αναφορικής νότας  μπορούν να χρησιμοποιηθούν διάφορες συναρτήσεις πιθανότητας.

image

Κάθε φορά που δημιουργείται ένα ζωντανό κελί, οι συντεταγμένες του λαμβάνονται  υπ’ όψιν για να δημιουργηθεί η μουσική τριπλέτα, με τον προαναφερόμενο τρόπο.
Παράλληλα τρέχει και το ‘δαιμονικό κυκλικό διάστημα’, και ο χρήστης μπορεί να  αντιστοιχίσει τα χρώματα που δηλώνουν τις διαφορετικές καταστάσεις του αυτόματου  με μουσικά όργανα, σύμφωνα με το σύστημα MIDI (Musical Instrument Digital
Interface – Ψηφιακή Διασύνδεση Μουσικών Οργάνων). Με αυτόν τον τρόπο, οι νότες  που καθορίστηκαν από το παιχνίδι της ζωής, ηχούν από το όργανο που καθορίστηκε  από το κυκλικό διάστημα. Τα δύο αυτόματα συγχρονίζονται για να ξεκινήσουν να  τρέχουν σε παράλληλα διακριτά χρόνο-διαστήματα. Αυτό σημαίνει πως και οι  μεταβάσεις μεταξύ των καταστάσεων καθώς ο χρόνος τρέχει γίνονται παράλληλα.
Εντούτοις, η CAMUS διαβάζει και παίζει τους πίνακες στήλη – στήλη, από πάνω προς  τα κάτω, προτού προλάβει να λάβει χώρα η μετάβαση των αυτομάτων. Υπάρχει  περίπτωση αυτές οι νότες να ηχούν ταυτόχρονα, αλλά αυτό δεν είναι πάντα αναγκαίο.
Κάθε μουσικό κελί έχει το δικό του μουσικό ρυθμό, και οι νότες που το αποτελούν  μπορεί να έχουν διαφορετική διάρκεια και επιπλέον μπορούν να ενεργοποιηθούν σε  οποιαδήποτε χρονική στιγμή [64].
Το ρυθμικό μοτίβο που θα ακολουθηθεί εξαρτάται και από την κατάσταση των  γειτονικών κελιών στο αυτόματο παιχνίδι της ζωής. Υπάρχουν ορισμένοι ρυθμικοί  κανόνες, οι οποίοι, λαμβάνοντας υπ’ όψιν τους την κατάσταση των γειτόνων
καθορίζουν το ρυθμικό πρότυπο για κάθε κελί που ενεργοποιείται. Παρ’ όλα αυτά,αυτοί οι κανόνες καθορίζουν απλά τη θέση των νοτών στο πεντάγραμμο μιας  τριπλέτας. Υπάρχουν και άλλες υπορουτίνες του προγράμματος που καθορίζουν την
ακριβή χρονική έναρξη μιας νότας καθώς και την διάρκειά της [1].
Οι Hoggar και Mc Alpine [64] προχώρησαν πέρα από το CAMUS : εισήγαγαν το  CAMUS 3D χρησιμοποιώντας τρισδιάστατα κυτταρικά αυτόματα και αλυσίδες Markov  για να δημιουργήσουν τους ρυθμούς. Οι αλυσίδες Markov είναι πιθανοτικά
συστήματα, σύμφωνα με τα οποία η πιθανότητα κάποιων γεγονότων να συμβούν  εξαρτάται από το προηγούμενο ή τα προηγούμενα γεγονότα. Ο αριθμός των  πεπερασμένων γεγονότων που λαμβάνονται υπ’ όψιν είναι γνωστός ως «διάταξη» της
αλυσίδας. Επομένως, μια αλυσίδα Markov που λαμβάνει υπ’ όψιν μόνο τον αμέσως  προηγούμενο πρόγονο – συμβάν είναι πρώτης διάταξης, ενώ μια αλυσίδα που λαμβάνει  υπ’ όψιν και τον πρόγονο του προγόνου είναι δεύτερης διάταξης, και ούτω καθ’ εξής.

image

Γενικά, τα κυτταρικά αυτόματα αποτελούν ένα ενδιαφέρον μαθηματικό μοντέλο, το  οποίο έχει χρησιμοποιηθεί σε ένα μεγάλο εύρος επιστημονικών θεμάτων. Τα κυτταρικά  αυτόματα εξετάζονται και αναπτύσσονται ολοένα και περισσότερο τις τελευταίες τρεις  δεκαετίες. Παρά την απλότητά τους, έχουν την δυνατότητα να μοντελοποιούν  πολύπλοκα προβλήματα σε πολλές επιστημονικές περιοχές όπως η φυσική (για  παράδειγμα, δυναμικά και χαοτικά συστήματα), η γενετική και η χημεία (χημικές  αντιδράσεις και ανάπτυξη κρυστάλλων (crystal growth).

(ΣΥΝΕΧΙΖΕΤΑΙ)

About sooteris kyritsis

Job title: (f)PHELLOW OF SOPHIA Profession: RESEARCHER Company: ANTHROOPISMOS Favorite quote: "ITS TIME FOR KOSMOPOLITANS(=HELLINES) TO FLY IN SPACE." Interested in: Activity Partners, Friends Fashion: Classic Humor: Friendly Places lived: EN THE HIGHLANDS OF KOSMOS THROUGH THE DARKNESS OF AMENTHE
This entry was posted in Music and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s