OCTO MACHION – ΟΣΤΟΜΑ ΧΙΟΝ – ОСТОМАХИОН


ΑΠΟ ΤΟ ”ΟΣΤΟΜΑΧΙΟΝ” – TANGRAM,ΣΤΟΝ  ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

Ο Αρχιμήδης (3ος αι. π.Χ.) θεωρείται ο μεγαλύτερος φυσικομαθηματικός τής αρχαιότητας. Στον τομέα των μαθηματικών συγκρίνεται με τούς μεγαλύτερους τής νεότερης εποχής, δηλαδή τον Gauss, τον Euler και τον Newton. Η φήμη του ως ευφυούς μαθηματικού και κατασκευαστή εκπληκτικών μηχανών είχε δημιουργηθεί ήδη από την αρχαιότητα και πιθανά για το λόγο αυτό οι σωζόμενες για τον Αρχιμήδη μαρτυρίες είναι πολλές. Πλείστα όμως έργα του καταστράφηκαν από φανατικούς χριστιανούς, ενώ αρκετά σώθηκαν από αραβικές και μόνον μεταφράσεις.

Κατά την Αναγέννηση, τα συγγράμματά του χρησιμοποιούνταν ως διδακτικά βιβλία, για τη μόρφωση των νέων, που επιθυμούσαν να επιδοθούν τα Μαθηματικά. Ο Leibniz, o οποίος παράλληλα με το Νewtonεφεύρε την απειροστική ανάλυση, έγραφε, ότι όποιος κατανοεί τον Αρχιμήδη «θα είναι φειδωλός στο θαυμασμό των ανακαλύψεων των ανδρών τής νεότερης εποχής» («Άπαντα», V 460). Η προ εκατονταετίας ανακάλυψη σε παλίμψηστο τού έργου τού Αρχιμήδη, «Περί των μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος» (έφοδος = μέθοδος), μάς έδειξε μιά άποψη τής μεθόδου, που χρησιμοποιούσε. Η μελέτη των έργων του αποκάλυψε, ότι είχε προηγηθεί των νεότερων στην ανακάλυψη τού ολοκληρωτικού λογισμού.

Αποδεικνύει επί πλέον η εργασία τού Αρχιμήδη πόσο δημιουργική στις επιστήμες ήταν η -περιφρονημένη μέχρι πρό τινος- αλεξανδρινή εποχή. Επί πλέον προβληματίζονται οι σημερινοί επιστήμονες αναλογιζόμενοι σχετικά με το πού θα μπορούσε να είχε φτάσει ο άνθρωπος στην εποχή μας και πόσο θα είχε ακόμα προοδεύσει η Επιστήμη εάν δεν είχε κηρυχθεί υπό διωγμό κατά το χριστιανικό μεσαίωνα, οπότε ανακόπηκε για περισσότερο από μιά χιλιετία κάθε επιστημονική πρόοδος.

Το πρόβλημα με το χρυσό στέμμα

Αποτελεί το πιο διάσημο επίτευγμα τού Αρχιμήδη. Κατάφερε να αποδείξει, ότι το στέμμα τού βασιλιά των Συρακουσών δεν ήταν από ατόφιο χρυσάφι χρησιμοποιώντας τη δύναμη τής άνωσης. Το στέμμα αποτελούνταν από κράμα χρυσού και ασημιού. Το ασήμι έχει τη μισή πυκνότητα τού χρυσού, οπότε ίσα βάρη των δυο μετάλλων καταλαμβάνουν διαφορετικό όγκο.

Χρησιμοποίησε έναν αναλογικό ζυγό κι ένα κομμάτι ατόφιο χρυσάφι με το ίδιο βάρος με το στέμμα και τα βύθισε σε μια δεξαμενή με νερό. Το στέμμα λόγω τού ασημιού είχε μεγαλύτερο όγκο από το κομμάτι ατόφιου χρυσού και επειδή η δύναμη τής άνωσης εξαρτάται από τον όγκο τού εκτοπισμένου νερού, το στέμμα φαινόταν ελαφρύτερο μέσα στο νερό σε σχέση με το κομμάτι ατόφιου χρυσού.

Τετραγωνισμός τής παραβολής

Στο σύγγραμμά του «Τετραγωνισμός παραβολής» αποδεικνύει, ότι η περιοχή, που εμπερικλείεται μεταξύ μιας παραβολής και μιας ευθείας γραμμής είναι τα 4/3 ενός συγκεκριμένου εγγεγραμμένου τριγώνου.

Μια νέα αποδεικτική μέθοδος, την οποία εισήγαγε ο Εύδοξος ο Κνίδιος  και την επεξέτεινε ο Αρχιμήδης, είναι η μέθοδος τού διαφορικού και τού ολοκληρωτικού λογισμού, που την ονόμασαν μέθοδο τής εξάντλησης. Ο Εύδοξος κι ο Αρχιμήδης δεν ήταν δυνατόν να επιχειρήσουν αποδείξεις θεωρημάτων θεωρούντες το άπειρο ως κάτι το συγκεκριμένο. Τα τελικά αποτελέσματα των συναφών αποδείξεων τα λάμβαναν με την σε άτοπο απαγωγή. Τις έννοιες αυτές είχαν συλλάβει πρώτα ο Αναξαγόρας και κατόπιν ο Ιπποκράτης ο Χίος κατά την προσπάθειά τους για τον τετραγωνισμό τού κύκλου. Ο Αρχιμήδηςχρησιμοποίησε τη μέθοδο τής εξάντλησης χωρίζοντας την περιοχή σε εγγεγραμμένα τρίγωνα, των οποίων το εμβαδόν τους σχηματίζει γεωμετρική πρόοδο με λόγο 1/4.

Ο τρόπος εφαρμογής τής μεθόδου τής εξάντλησης, που χρησιμοποίησε ο Αρχιμήδης, παρέμεινε αξεπέραστος μέχρι την ανάπτυξη τού ολοκληρωτικού λογισμού τον 17ο αιώνα. Είναι φανερό, ότι δεν ανακάλυψε τυχαία το γνωστό κοχλία του.


Περί σφαίρας και κυλίνδρου

Η αγαπημένη μαθηματική απόδειξη τού Αρχιμήδη ήταν η σχέση, που είχε βρει μεταξύ σφαίρας και κυλίνδρου με ίσο ύψος και διάμετρο. Ο όγκος και η επιφάνεια τής σφαίρας ισούται με τα 2/3 τού κυλίνδρου. Στον τάφο του χαράκτηκε το σχήμα μιάς σφαίρας εγγεγραμμένης σε κύλινδρο.

Η μέτρηση τού π

Προκειμενου να υπολογίσει το π, υπολόγισε την περίμετρο ενός εγγεγραμμένου και ενός περιγεγραμμένου κανονικού πολυγώνου σε κύκλο. Κανονικό είναι το πολύγωνο που έχει ίσες πλευρές (συμμετρικό). Όσο πιο πολλές πλευρές έχει το πολύγωνο, τόσο πιο πολύ προσεγγίζει την περιφέρεια τού κύκλου. Φυσικά γνώριζε, ότι η περιφέρεια τού κύκλου ισούται με τη διάμετρο επί τον αριθμό π.

Έτσι βρήκε, ότι το π βρίσκεταιμεταξύ 22/7 και 223/71, δίνοντας περίπου την τιμή 3,1418. Ήταν ο πρώτος που υπολόγισε το π επιστημονικά στο έργο του «Κύκλου μέτρησις».

Παλαιότερες εκτιμήσεις έχουν ως εξής: 3,16 οι Αιγύπτιοι, 3,125 οι Βαβυλώνιοι και 3,139 οι Ινδοί. Στην Παλαιά Διαθήκη αναφέρεται, ότι το π ισούται με 3. [«Βασιλειών Α΄» ζ΄ 23. Πρόκειται για την χειρότερη αν και -υποτίθεται- θεόπνευστη προσέγγιση.

Η επόμενη ακριβής μέτρηση αναφέρεται στο Έργο «Μαθηματική Σύνταξις» («Αλμαγέστη») τού Κλαύδιου Πτολεμαίου και είναι 3,1416 με τη βοήθεια πολυγώνου με 360 πλευρές. Ο Ρωμαίος Βιτρούβιος υπολόγισε την τιμή 25/8 (3,125) μετρώντας το ίχνος, που άφησε ένας τροχός κάνοντας μια περιστροφή και διαιρώντας με τη διάμετρο τού τροχού.

Αργότερα, γύρω στα 265, ο κινέζος Liu Hui χρησιμοποιώντας παρόμοιες με τον Αρχιμήδη μεθόδους υπολόγισε την τιμή 3.1416. Το 480 περίπου ο κινέζος Zu Chongzhi βρήκε το κλάσμα 355/113 με τη βοήθεια ενός πολυγώνου με 12.288 πλευρές. Αυτή η τιμή προσφέρει ακρίβεια 6 δεκαδικών και αποτέλεσε την καλύτερη προσέγγιση για τα επόμενα 900 χρονια. (Η αμέσως καλύτερη προσέγγιση σε μορφή κλάσματος είναι το 52163/16604).

Διάφοροι υποστηρίζουν, ότι οι Maya είχαν πετύχει καλύτερη προσέγγιση από τους Ευρωπαίους, αλλα κανεις δεν ξέρει με σιγουριά, μιας και δεν έχει διασωθεί κάποια αναφορά. Οι Ινδοί πετυχαίνουν την καλύτερή τους προσέγγιση το 499 με τον Aryabhata (62832/20000 = 3.1416) τιμή, που αναφέρει ο Άραβας Al-Khwarizmi γύρω στα 820.

Αργότερα, το 1400, ο ινδός Madhava υπολογίζει 11 δεκαδικά χρησιμοποιώντας για πρώτη φορα ακολουθία αριθμών και συγκεκριμένα την ακολουθία Madhava – Leibniz: π = 4 – 4/3 + 4/5 – 4/7 + 4/9 – 4/11 +…

O πέρσης Al-Kashi υπολογίζει 16 δεκαδικά το 1430 και η σκυτάλη περνάει στους Eυρωπαίους. Στο μεταξύ άρχισαν να εφευρίσκονται ακολουθίες αριθμών που ο υπολογισμός τους έδινε περισσότερα δεκαδικά τού π με λιγότερο κόπο, όπως τού Ινδού Ramanujan (1887 –1920).

Τον 16ο αιώνα ο γερμανο-ολλανδός Ludolph van Ceulen χρησιμοποιώντας τη μέθοδο τού Αρχιμήδη ξόδεψε το μεγαλύτερο μέρος τής ζωής του υπολογίζοντας το π. Κατάφερε να υπολογίσει 35 δεκαδικά ψηφία με τη βοήθεια ενός πολυγώνου με 4.611.686.018.427.387.904 πλευρές (262)! Ο αριθμός πήρε το όνομα Ludolphine και χαρακτηκε στον τάφο του. Τα σημερινά pc κάνουν τους ιδιους υπολογισμούς σε κλάσμα δευτερολέπτου.

*        *        *

Τον 18ο αιώνα ο Γάλλος Georges Louis Leclerc Buffon υπολόγισε, ότι, όταν μια βελόνα πέφτει πάνω σε ένα επίπεδο με παράλληλες ισαπέχουσες γραμμές (π.χ. πάτωμα από σανίδες) έχει πιθανότητα 2k/π να διασταυρωθεί με κάποια γραμμή με την προϋπόθεση, ότι το μήκος τής βελόνας είναι μικρότερο από την απόσταση των γραμμών μεταξύ τους. To k είναι ο λόγος τού μήκους μεταξύ τής βελόνας και τής απόστασης των γραμμών και φυσικά είναι μικρότερος τού 1.

Το 1901 ο Ιταλός Mario Lazzarini χρησιμοποίησε την ιδέα, για να υπολογίσει την τιμή του π. Έριξε μια βελόνα 3.408 φορες και πέτυχε την ήδη γνωστη τιμή 335/113. Όμως, υπολογισμοί δείχνουν, ότι πείραξε τα αποτελέσματα, προκειμενου να πετύχει την τιμή που ήθελε.

Το κυνήγι τού π δεν σταμάτησε ποτέ. Τον Αύγουστο τού 2010 ανακοινώθηκε ο υπολογισμός 5 τρις ψηφίων του μετά από 3 μήνες υπολογισμών σε έναν υπολογιστή αποτελούμενο από δύο εξαπύρηνους επεξεργαστές και 96 GB μνήμη.

Οι φυσικοί δεν χρειάζονται πάνω από δέκα ψηφία τού π, για να μετρήσουν με υψηλή ακρίβεια την περιφέρεια τού ηλιακού συστήματος και πάνω από σαράντα ψηφία για την περιφέρεια τού ορατού σύμπαντος. Αυτό γίνεται πιο κατανοητό αν δούμε την ακρίβεια άλλων σταθερών. Η ταχύτητα τού φωτός έχει μετρηθεί με ακρίβεια δώδεκα ψηφίων και από τη σταθερά τής παγκόσμιας έλξης είναι γνωστά μονο πέντε ψηφία.

Τα στερεά (πολύεδρα) τού Αρχιμήδη

Ο Αλεξανδρινός μαθηματικός Πάππος (ακμή 300 μ.Χ.) μάς πληροφορεί στο βιβλίο του, «Πάππου Συναγωγή», για τα 13 στερεά τού Αρχιμήδη, πέραν των γνωστών πέντε πλατωνικών στερεών.

Τα πλατωνικά στερεά είναι κανονικά πολύεδρα, διότι αποτελούνται από έναν τύπο κανονικών πολυγώνων. Περιλαμβάνονται στο τελευταίο βιβλίο των «Στοιχείων» τού Ευκλείδη, όπου και περιγράφονται.

Είναι τα εξής πέντε:

– Τετράεδρο, αποτελείται από τρίγωνα.

– Εξάεδρο η κύβος, αποτελείται από τετράγωνα.

– Οκτάεδρο, αποτελείται από τρίγωνα.

– Δωδεκάεδρο, αποτελείται από πεντάγωνα.

– Εικοσάεδρο, αποτελείται από τρίγωνα.

Τα 13 πολύεδρα τού Αρχιμήδη.

Τα στερεά τού Αρχιμήδη είναι ημι-κανονικά πολύεδρα, που αποτελούνται από περισσότερα από έναν τύπο κανονικών πολυγώνων και έχουν υψηλό βαθμό συμμετρίας (υπάρχουν και άλλες κατηγοριες πολυέδρων με μικρότερο βαθμό συμμετρίας, όπως τα πρίσματα). Το 1619 ο Kepler τους έδωσε τα σύγχρονα ονόματα τους.

Ψαμμίτης

Στην πραγματεία του αυτή, τη μοναδική σωζόμενη αριθμητικού, αλγεβρικού και αστρονομικού περιεχομένου, στην οποία διατυπώνεται σύστημα εύρεσης μεγάλων αριθμών, ο Αρχιμήδης υποστηρίζει, ότι ο αριθμός των κόκκων τής άμμου δεν είναι άπειρος, όπως πίστευαν πολλοί, αλλά πεπερασμένος αριθμός. Συγκεκριμένα, θέλει να υπολογίσει τον αριθμό των κόκκων, τούς οποίους χωράει το Σύμπαν.

Αρχικά πρέπει να ορίσει ένα σύστημα ονομασίας μεγάλων αριθμών. Ξεκίνησε από τον μεγαλύτερο αριθμό τής εποχής του, που ήταν η μυριάδα στο τετράγωνο (104 x 104 = 108). Χρησιμοποιώντας αυτόν τον αριθμό ως βάση δημιούργησε μεγαλύτερους αριθμούς με πολλαπλασιασμούς (108 x108 = 1016) και τους χώρισε σε επίπεδα και περιόδους. Τελικά σταμάτησε στον αριθμό:

Ο αριθμός αυτός είναι ασύλληπτα μεγάλος και αποτελείται από το 1 ακολουθούμενο από 80 x 1015 μηδενικά. Είναι πολύ μεγαλύτερος από τον αριθμό Googol (10100).

Κατόπιν, πρέπει να υπολογίσει το μέγεθος τού Σύμπαντος. Λαμβάνει ως δεδομένο το ηλιοκεντρικό μοντέλο τού Αρίσταρχου και υπολογίζει το μέγεθος τού Σύμπαντος κάνοντας παραδοχές και χρησιμοποιώντας αναλογίες. Θεωρεί, ότι το Σύμπαν είναι πεπερασμένο και σφαιρικό κι ότι ο λόγος τής διαμέτρου τού Σύμπαντος προς τη διάμετρο τής τροχιάς τού Ήλιου είναι ίσος με το λόγο τής διαμέτρου τής τροχιάς τού Ήλιου προς τη διάμετρο τής Γης. Επίσης θεωρεί, ότι η περιφέρεια τής Γης δεν είναι μεγαλύτερη από 300 μυριάδες στάδια, ότι η Σελήνη είναι μικρότερη από τη Γη κι ότι ο Ήλιος δεν είναι μεγαλύτερος πάνω από 30 φορες από τη Σελήνη. Μετά υπολογίζει τη διάμετρο τού Σύμπαντος σε 1014 στάδια (2 έτη φωτός περίπου) και ότι δεν χρειάζονται πάνω από 1063 κόκκοι άμμου για να γεμίσει το Σύμπαν. Ο τελικός αριθμός, που υπολογίζει είναι παρόμοιας τάξης μεγέθους με τον αριθμό πρωτονίων τού Σύμπαντος, που δίνουν οι σύγχρονες φυσικές θεωρίες.

Το βοεικόν πρόβλημα

Πρόκειται για υπολογιστικό πρόβλημα, που περιλαμβάνει πολύ μεγάλους αριθμούς και το παρουσίασε ο Αρχιμήδης με τη μορφή ποιήματος (επιγράμματος) 44 στίχων κατά το πρότυπο των στίχων τού Ομήρου στον Ερατοσθένη  και στούς άλλους μαθηματικούς τής Αλεξανδρείας προκαλώντας τους να το λύσουν.


Ο Αρχιμήδης φαίνεται, ότι εμπνεύστηκε την εκφώνηση τού βοεικού προβλήματος από την Οδύσσεια, όπου γίνεται λόγος για το μυθικό νησί, Θρινακία, των ταύρων και των προβάτων της (λ 107 και μ 127). Το επίγραμμα ξεκινάει ως εξής: «Αν είσαι εργατικός και σοφός ξένε, υπολόγισε τον αριθμό των γελαδιών τού Ηλιου, που έβοσκαν στα λιβάδια τής Σικελίας

Στη συνεχεια αναφέρει, ότι υπάρχουν τέσσερις τύποι γελαδιών, άσπρα, μαύρα, κίτρινα και με βούλες κι ότι οι ταύροι είναι περισσότεροι από τις αγελάδες. Κατόπιν αναφέρει τις σχέσεις, που συνδέουν τους διαφορετικούς τύπους γελαδιών, οι οποίες μπορούν να συμβολιστούν ως εξής:

A = (5/6)M + Κ

M = (9/20)B + Κ

B = (13/42)A + Κ

a = (7/12)(M+m)

m = (9/20)(B+b)

b = (11/30)(Κ+k)

k = (13/42)(A+a)

Όπου: A, M, Κ, B: Tαύροι άσπροι, μαύροι, κίτρινοι, με βούλες.

και a, m, k, b: Aγελάδες άσπρες, μαύρες, κίτρινες, με βούλες

Το ερώτημα είναι να βρεθεί η σύνθεση τού κοπαδιού και ο συνολικός πληθυσμός του. Έχουμε λοιπόν ένα σύστημα επτά διοφαντικών εξισώσεων (εξισώσεις, που δίνουν ως λύσεις ακέραιους αριθμούς) με οκτώ αγνώστους, δηλαδή ένα πρόβλημα απροσδιόριστης ανάλυσης.

Οι λύσεις είναι οι εξής:

A = 10.366.482s

M = 7.460.514s

K = 4.149.387s

B = 7.358.060s

a = 7.206.360s

m = 4.893.246s

k = 5.439.213s

b = 3.515.820s

Το s είναι ένας οποιοσδήποτε ακέραιος και θετικός αριθμός, που σημαίνει, ότι υπάρχουν άπειρες λύσεις. Για s=1 παίρνουμε το μικρότερο σετ λύσεων, οπότε ο συνολικός πληθυσμός τού κοπαδιού είναι: 50.389.082.

Αυτό είναι το εύκολο κομμάτι τού προβλήματος. Ο Αρχιμήδης θέτει έναν περιορισμό, ο οποιος εξακοντίζει τη δυσκολία επίλυσης στα ύψη. Συγκεκριμένα λέει, ότι ο αριθμός των άσπρων και μαύρων ταύρων (M+A) είναι τετραγωνικός αριθμός και ο αριθμός των κίτρινων και με βούλες ταύρων (Κ+B) είναι τριγωνικός αριθμός. Τετραγωνικοί είναι αριθμοί τής μορφής η2 και τριγωνικοί τής μορφής η(η+1)/2 (βλ. παρακάτω σχήματα).

Τετραγωνικοί αριθμοί.

Τριγωνικοί αριθμοί.

Το πρόβλημα ανάγεται σε διοφαντική εξίσωση τής μορφής x2 – ay2= 1 (ονομάζεται εξίσωση Pell), όπου οι δυο άγνωστοι (x και y) αναπαριστούν το η τού τριγωνικού και το η τού τεραγωνικού αριθμού, που αναφέρθηκαν πιο πριν.

Το 1880, ο Γερμανός A. Amthor υπολόγισε, ότι η τελική λύση, δηλαδή ο συνολικός πληθυσμός τού κοπαδιού, είναι ένας αριθμός με 206.545 ψηφία, που αρχίζει από 776 (7,76×10206544).

Αργότερα, υπολογίστηκαν μερικά ακόμα ψηφία, αλλά έπρεπε να περιμένουμε την εποχή των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Το 1965 με τη βοήθεια ενός IBM 7040 ανακοινώθηκε, ότι λύθηκε το πρόβλημα χωρίς να δημοσιευτεί η λύση. Το 1981 με τη βοήθεια ενός υπερυπολογιστή CRAY-1 χρειάστηκαν δέκα λεπτά για να βρεθεί ο αριθμός, ο οποιος τυπώθηκε σε έναν τόμο 47 σελίδων. Αυτή είναι και η μικρότερη δυνατή λύση στο πρόβλημα τού Αρχιμήδη. Για να τεστάρουν τον υπολογιστή οι ερευνητές υπολόγισαν πέντε επιπλέον λύσεις, εκ των οποιων η μεγαλύτερη ήταν ένας αριθμός με ένα εκατομμύριο ψηφία.

Σφαίρες και πλανητάριο

Τον 1º αιώνα π.Χ. ο Κικέρων αναφέρει, ότι ο στρατηγός Mάρκος Κλαύδιος Μαρκέλλος, μετά το θάνατο τού Αρχιμήδη και την πολιορκία των Συρακουσών το 212 π. Χ., επέστρεψε στη Ρώμη με δυο «σφαίρες», που είχε κατασκευάσει ο Αρχιμήδης. Η πρώτη ήταν μία ουράνια σφαίρα με σχεδιασμένα πάνω της τα άστρα και τούς αστερισμούς.

Ο Κικέρων αναφέρει, ότι τέτοιου είδους σφαίρες κατασκευάστηκαν για πρώτη φορά από το Θαλή τον Μιλήσιο και τον Εύδοξο τον Κνίδιο. (Σύμφωνα με το Διογένη Λαέρτιο και το λατίνο συγγραφέα, Πλίνιο, ο Αναξίμανδρος ήταν εκείνος, που είχε κατασκευάσει το πρώτο πλανητάριο).

     Τη δεύτερη σφαίρα την κράτησε για τον εαυτό του και ήταν πολύ πιο πρωτότυπη και εξελιγμένη. Ήταν ένα πλανητάριο, δηλαδή ένα μηχανικό μοντελο, που έδειχνε τις κινήσεις τού Ηλίου, τής Σελήνης και των πλανητών, όπως φαίνονται από τη Γη. Ο Κικέρων αναφέρει για τον Αρχιμήδη, πως μόνο μία εξαιρετική μεγαλοφυία θα μπορούσε να κατασκευάσει μια τέτοιου είδους συσκευή. Μερικοί αρχαίοι συγγραφείς (όπως ο θρησκόληπτος Λακτάντιος) χρησιμοποίησαν το πλανητάριο τού Αρχιμήδη ως απόδειξη ύπαρξης δημιουργού τού κόσμου. Όπως το πλανητάριο χρειάζεται ένα δημιουργό, έτσι κι ο κόσμος χρειάζεται το δημιουργό του (γέννηση τού μηχανιστικού τρόπου θεώρησης τού κόσμου).

Επίσης ο Πάππος αναφέρει, ότι ο Αρχιμήδης έγραψε ένα έργο (δεν έχει διασωθεί) με τίτλο «Περί σφαιροποιίας», που αφορούσε πρακτικά θέματά.

     Ο Αρχιμήδης φαίνεται να έχει κάποια σχέση και με τον γνωστό Μηχανισμό των Αντικυθήρων. Η συσκευή αυτή θεωρείται το μεγαλύτερο τεχνολογικό εύρημα τής αρχαιότητας. Εκτιμάται, ότι κατασκευάστηκε μεταξύ 150 και 100 π.Χ.. Η μηχανική του πολυπλοκότητά συγκρίνεται με ένα ελβετικό ρολόι τού 19ου αιώνα. Πρόκειται για ένα μηχανικό υπολογιστή, που υπολογίζει σύνθετους κύκλους μαθηματικής αστρονομίας (Μετωνικός, Καλλιπικός, Κύκλος τού Σάρου). Φέρει δείκτες, που δείχνουν την πορεία τού Ήλιου, την πορεία και τις φάσεις τής Σελήνης και των πλανητών και τις εκλείψεις. Τελευταίες έρευνες με τη χρήση υπερσύγχρονων τεχνικών (τομογραφία ακτίνων Χ, τρισδιάστατη απεικόνιση) έδειξαν, ότι υπολογίζει τον χρόνο τέλεσης των Πανελλήνιων Αγώνων (Ολυμπιακούς, Ίσθμια, Πύθια, Νέμεα κ.ά.) Επίσης έδειξαν, ότι πιθανώς να κατασκευάστηκε σε κάποια αποικία τής πόλης τής Κορίνθου (όπως οι Συρακούσες). Το γεγονός, ότι ο Αρχιμήδης έζησε έναν αιώνα πριν από την εποχή, που υπολογίζεται, ότι κατασκευάστηκε η συσκευή, κάνει τους ειδικούς να εκτιμούν, ότι πιθανότατα ο μηχανισμός να είναι ένα δείγμα από την τεχνολογική παράδοση, που ξεκίνησε ο Αρχιμήδης.

Προτού προλάβει καλά-καλά να συνέλθει η επιστημονική κοινότητα από τις εκπλήξεις, που επεφύλασσε η μελέτη τού Υπολογιστή των Αντικυθήρων, ήρθε αντιμέτωπη με μία νέα απρόσμενη και πολύ μεγαλύτερη έκπληξη. Το προφίλ των οδόντων ενός τεμαχίου γραναζιού τού 3ου αι. π.Χ., το οποίο ανακαλύφθηκε πρόσφατα στην πόλη Ολβία τής Σαρδηνίας, μετά την αποκατάστασή του αποδείχθηκε, ότι δεν είναι τριγωνικό, όπως τού Υπολογιστή των Αντικυθήρων, αλλά καμπύλο, πανομοιότυπο κι εφάμιλλης τεχνολογίας με τα γρανάζια τής σύγχρονης Μηχανολογίας. Δεδομένου, ότι τόσο η εποχή, όσο και η περιοχή μάς παραπέμπουν στον Αρχιμήδη, οι επιστήμονες διερωτώνται μήπως το μικρό αυτό κομμάτι τού γραναζιού προέρχεται από το πλανητάριο τού Αρχιμήδη .

Στομάχιον ή Οστομάχιον

Στομάχιον σύμφωνα με τα αραβικά χειρόγραφα ή Οστομάχιον ονομάζεται πραγματεία τού Αρχιμήδη, τής οποίας σώζονται μερικά αποσπάσματα. Αναφέρεται ως παιχνίδι διαδεδομένο στην αρχαιότητα, στο οποίο ζητούνταν να τοποθετηθούν 14 πλακουντοειδή ελεφάντινα οστάρια πολυγωνικής και τριγωνικής μορφής, έτσι ώστε να σχηματίζεται άλλοτε ξίφος, άλλοτε πλοίο, άλλοτε περικεφαλαία. Μοιάζει με το σημερινό tangram (7 σχήματα). Θεωρείται το αρχαιότερο puzzle.

Το όνομα ίσως να προέρχεται από το «μάχη οστών», ή σύμφωνα με άλλους από τη στενοχώρια, που αισθάνεται αυτός που παίζει το παιχνίδι, υποχρεωμένος να νικήσει μεγάλες δυσκολίες. Αναφέρεται και ως «κουτί τού Αρχιμήδη». Το παιχνίδι αυτό είχε κάνει καταπληκτική εντύπωση στούς Ρωμαίους συγγραφείς, που μνημόνευσαν τα επιτεύγματα τού Αρχιμήδη.

Το αραβικό χειρόγραφο, που έχει σωθεί, αναφέρει, πώς μπορεί να κατασκευαστεί και υπολογίζει το εμβαδόν των κομματιών σε σχέση με το τετράγωνο, που σχηματίζουν όλα μαζί. Η μελέτη όμως τού παλίμψηστου έδειξε, ότι ο Αρχιμήδης πιθανώς να προσπάθησε να υπολογίσει το συνολικό αριθμό των διαφορετικών συνδυασμών, που σχηματίζουν τετράγωνο. Αυτό αποτελεί την πρώτη εργασία σε έναν κλάδο μαθηματικών, που σήμερα ονομάζεται Συνδυαστική (Combinatorics).

Το Οστομάχιον μπορεί να κατασκευαστεί αν χωρίσουμε ένα τετράγωνο σε μικρότερα τετράγωνα, έτσι ώστε κάθε πλευρά να έχει 12, δηλαδή συνολικά: 12×12=144 τετράγωνα. Κατόπιν σχεδιάζουμε τα 14 σχήματα (11 τρίγωνα, 2 τετράπλευρα και 1 πεντάγωνο), όπως φαίνεται στο σχήμα.

Το Οστομάχιον είναι έτσι κατασκευασμένο, ώστε ο λόγος τού εμβαδού κάθε σχήματος με το τετράγωνο να είναι ρητός αριθμός. Τα εμβαδά των σχημάτων είναι: 3, 3, 6, 6, 6, 6, 9, 12, 12, 12, 12, 12, 21, και 24 (σύνολο: 144). Μπορούν να υπολογιστούν εύκολα με τη βοήθεια τού θεωρήματος Pick (1899).


Το 2003 ανακοινώθηκε, ότι υπάρχουν 536 δυνατοί γεωμετρικοί συνδυασμοί, που δίνουν τετράγωνο και με τις συμμετρίες (περιστροφές, κατοπτρισμοί, πανομοιότυπα τρίγωνα) ο αριθμός των συνδυασμών ανεβαίνει στους 17.152.

Τιμή στον Αρχιμήδη

Η κορυφαία διάκριση στο χώρο των μαθηματικών είναι το Fields Medal, που απονέμεται από τη Διεθνή Ένωση Μαθηματικών (ΙMU) κάθε 4 χρονια από το 1950, σε δυο έως τέσσερις μαθηματικούς κάτω των 40 ετών. Το μετάλλιο φέρει στη μια όψη τη μορφή τού Αρχιμήδη και στο φόντο τής άλλης το αγαπημένο του θεώρημα. Επίσης το όνομα του έχει δοθεί σε ένα κρατήρα και μια οροσειρά στο φεγγάρι και σε έναν αστεροειδή.

Τα Μαθηματικά στην εποχή μας

Το 1900, ο Hilbert, παρουσίασε 23 άλυτα προβλήματα, τα οποία κατά τη γνώμη του θα έπαιζαν σημαντικό ρόλο στα μαθηματικά τού 20ου αιώνα. Από αυτά τα περισσότερα έχουν λυθεί, κάποια άλλα έχουν εν μέρει λυθεί, ένα θεωρείται ασαφές και γενικό και πέντε παραμένουν άλυτα. Τα προβλήματα κάλυπταν διαφορους τομείς, από θεωρία αριθμών και μαθηματική λογική έως γεωμετρία. Από αυτά θεωρούσε πιο σημαντικό το όγδοο, δηλαδή την υπόθεση Riemann.

Το 1931 ο αυστριακός Gοdel δημοσιεύει τα δυο θεωρήματα τής μη πληρότητας, δίνοντας απάντηση στο δεύτερο πρόβλημα τού Hilbert. Έδειξε, ότι είναι αδύνατον να υπάρξει ένα πλήρες και συνεπές σύστημα αξιωμάτων. Φαίνεται, ότι ακόμη και στα μαθηματικά, το απώτατο προπύργιο τού ορθολογισμού, η αποδεικτική δύναμη τής λογικής έχει όρια. Το θεώρημα ουσιαστικά βάζει ένα φραγμό στην παντοδυναμία τής μαθηματικής λογικής, τού πιο συνεκτικού και συνεπούς εργαλείου, που διαθέτει ο ανθρώπινος νους. Από τη μια μεριά φαίνεται, ότι τα μαθηματικά έχουν και ένα δημιουργικό στοιχείο, από την άλλη φαίνεται, ότι για να κατανοηθεί πλήρως το Σύμπαν, πρέπει να παρατηρηθεί από μια θέση έξω από αυτό (κάπου εδώ «χώνεται» θεολογικά η οργανωμένη θρησκεία). Μήπως τα μυστικά τού κόσμου είναι καλά κρυμμένα για τις οντότητες, που βρίσκονται μέσα σε αυτόν; Η φύση αρέσκεται να κρύβεται, όπως έλεγε κι ο Ηράκλειτος.

Παρόμοιες καταστάσεις συνέβησαν και στο χώρο τής φυσικής, όπως η ερμηνεία τής Σχολής τής Κοπεγχάγης (Bohr, Heisenberg), όπου έννοιες, όπως η αντικειμενικότητα τού παρατηρητή και η παντοδυναμία τού αυστηρού ντετερμινισμού (αιτιοκρατία) δεν έχουν θέση. Οι φυσικοί στην εποχή μας, όταν εμφανίζεται μια νέα θεωρία, δεν ρωτούν τι μπορεί να κάνει, αλλά ποια είναι τα όρια της.

Τα μαθηματικά συνέχισαν να προσφέρουν και μετά τον δεύτερο παγκόσμιο πόλεμο σε διάφορους τομείς (θεωρία παιγνίων, θεωρία γραφημάτων, τοπολογία, πιθανότητες, στατιστική, τεχνητή νοημοσύνη, δυναμικά συστήματα κ.ά.). Η εμφάνιση τής Θεωρίας τού Χάους και τής Κλασματικής Γεωμετρίας (fractals) έδωσαν ώθηση σε μια μορφή μαθηματικών, που ονομάζεται Πολυπλοκότητα (αυτοοργάνωση, προσαρμοστικότητα, δικτυωση). Σήμερα, είναι δυνατόν να μοντελοποιηθούν βιολογικά συστήματα και να εξερευνηθεί, πώς οι νευρώνες αλληλεπιδρούν και πώς η εξέλιξη μεταβάλλει τα γονίδια. Όταν μεγάλοι αριθμοί οντοτήτων αλληλεπιδρούν και δυναμικά αυτομεταβάλλονται, νέες μορφές πολυπλοκότητας αναδύονται αυθόρμητα. Υπάρχουν διάφορα πολύπλοκα συστήματα: η εξάπλωση μιας ασθενειας, οι διακυμάνσεις των οικονομιών, η δυναμική των υπολογιστών στο Διαδίκτυο, η πρόβλεψη περιβαλλοντικών αλλαγών, ακόμα και η μετάδοση τής γνώσης μέσα στις ανθρώπινες κουλτούρες.

Το 2000, το αμερικανικο ιδιωτικό ινστιτούτο μαθηματικών, Clay, ανακοίνωσε επτά προβλήματα, που θεωρεί, ότι θα απασχολήσουν τα μαθηματικά τού 21ου αιώνα, αν όχι τής χιλιετίας και όρισε 1 εκατομμύριο δολάρια έπαθλο για το καθένα. Το 2002 ο ρώσος Perelman κατάφερε να λύσει το ένα από αυτά και συγκεκριμένα την εικασία τού Poincare (αφορά ένα κεντρικό ζήτημα τής Τοπολογίας).

Τα υπόλοιπα περιλαμβάνουν την εικασία των Birch και Swinnerton-Dyer (σχετίζεται με τις διοφαντικές εξισώσεις), την εικασία τού Hodge (ένα γεωμετρικής φύσης πρόβλημα), τις εξισώσεις Navier-Stokes (αφορούν στην κίνηση των ρευστών, ένας τομέας, που έχει μείνει στάσιμος τα τελευταία 150 χρονια), το πρόβλημα P vs NP (γνωστό πρόβλημα τής επιστήμης υπολογιστών με προεκτάσεις στην κρυπτογραφία), την υπόθεση Riemann (περί τής κατανομής των πρώτων αριθμών) και τη θεωρία Yang-Mills (αφορά στην περιγραφή των στοιχειωδών σωματιδίων). Τα προβλήματα αυτά παραμένουν άλυτα και είναι απίθανο να λυθούν σύντομα.

Τον Αύγουστο του 2010 ένας ινδός ερευνητής τής HP Labs τράβηξε τα φώτα τής δημοσιότητας, όταν ισχυρίστηκε, ότι έλυσε το πρόβλημα P vsNP. Τελικά, ο έλεγχος τής λύσης, που δημοσίευσε στο Διαδίκτυο, αποκάλυψε σωρεία λαθών.

Το παλίμψηστο τού Αρχιμήδη

Παλίμψηστα είναι τα χειρόγραφα, των οποιων έχει αποξεσθεί το αρχικό κείμενο, για να γραφτεί νέο. Στο μεσαίωνα ήταν συνηθισμένη πρακτική, διότι η περγαμηνή από δέρμα ζώου ήταν πανάκριβη. Εξ άλλου παλίμψηστο σημαίνει ξαναξυσμένο ή ξαναγδαρμένο.

Το χειρόγραφο με εργασίες τού Αρχιμήδη δημιουργήθηκε το δεύτερο μισό τού 10ου αιώνα στην Κωνσταντινούπολη. Η πορεία που ακολούθησε δεν είναι πλήρως γνωστή. Μετά την άλωση τής Κωνσταντινούπολης από τούς φράγκους, το 1204, πολλά χειρόγραφα άλλαξαν χέρια. Έτσι, βρέθηκε κάπου στην Ιερουσαλήμ, όπου το 1229 μετατράπηκε σε ευχολόγιο. Συγκεκριμένα, το χειρόγραφο μαζί με άλλα χειρόγραφα (με λόγους τού Υπερείδη και άλλες εργασίες) αποξέστηκαν, πλύθηκαν, κόπηκαν και διπλώθηκαν και επάνω τους γράφτηκαν λειτουργικά κείμενα και ευχές. Έτσι προέκυψε το παλίμψηστο.

Τον 16ο αιώνα το παλίμψηστο βρέθηκε στο μοναστήρι τού Αγίου Σάββα κοντά στη Βηθλεέμ. Από εκεί μετακινήθηκε πάλι και βρέθηκε πίσω στην Κωνσταντινούπολη το 1840, όπου λίγα χρονια μετά το βρήκε ο γερμανός ειδικός στα βιβλικά κείμενα Constantin von Tischendorf, που έκοψε μια σελίδα, η οποία πουλήθηκε το 1879 στην πανεπιστημιακή βιβλιοθήκη τού Cambridge. Το 1899 ο Παπαδόπουλος ο Κεραμεύς συντάσσει ένα κατάλογο χειρογραφων, που ανήκουν στον Έλληνα πατριάρχη τής Ιερουσαλήμ (και που, βεβαίως, βρίσκονται στην Κωνσταντινούπολη). Έτσι, καταγράφει το παλίμψηστο μαζί με μια μικρή περιγραφή του (ανέφερε, ότι υπάρχουν ξεθωριασμένα μαθηματικά σύμβολα). Κανείς από τους δυο δεν γνώριζε, ότι υπήρχαν εργασίες τού Αρχιμήδη.

Ο δανός φιλόλογος και ιστορικός, Johan Ludvig Heiberg, διεθνής αυθεντία στον Αρχιμήδη, παρακινήθηκε από αυτή την περιγραφή να επισκεφτεί την Κωνσταντινούπολη το 1906 και να τραβήξει φωτογραφίες τις σελίδες τού παλίμψηστου (ασπρόμαυρες φυσικά). Ανακάλυψε, ότι το παλίμψηστο περιελάμβανε τα α΄ και β΄ βιβλία «Περί σφαίρας και κυλίνδρου», ολόκληρο το «Περί ελίκων», τμήματα από το «Μέτρησις κύκλου» και «Ισορροπικά», τμήματα από το β΄ βιβλίο «Περί οχουμένων, τα οποία μέχρι τότε ήταν γνωστά από τη λατινική μετάφραση και την μέχρι τότε άγνωστη αρχή τού «Στομαχίου». Αλλά το σπουδαιότατο εύρημα, που ήρθε στο φως με το παλίμψηστο ήταν η πραγματεία «Περί των μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος», την ύπαρξη τής οποίας γνωρίζαμε από μαρτυρία τού Σουίδα. Ο Heiberg μελέτησε τις φωτογραφίες, κατέγραψε όσα έβλεπε με ένα μεγεθυντικό φακό και δημοσίευσε το έργο του το 1912.

Αργότερα, το παλίμψηστο άλλαξε πάλι χέρια και βρέθηκε στη Γαλλία. Το 1971 ο καθηγητής τού πανεπιστημίου τής Οξφόρδης, Nigel Wilson, αναγνωρίζει την κομμένη σελίδα, που βρισκόταν στην βιβλιοθήκη τού Cambridge, ως μέρος τού χειρόγραφου, που είχε φωτογραφίσει και αντιγράψει ο Heiberg πριν από 65 χρονια.

Το 1998 το παλίμψηστο δημοπρατήθηκε από τον οίκο Christie΄s στη Νέα Υόρκη και πουλήθηκε προς 2 εκατομμύρια δολάρια σε άγνωστο συλλέκτη (ίσως τον πρόεδρο τής Amazon), ο οποίος κατέθεσε το παλίμψηστο στον ειδικό χειρογράφων και σπάνιων βιβλίων, Will Noel, έφορο τού Μουσείου Τέχνης, Walters Art Museum.

Ευτυχώς, το νεοελληνικό κράτος επέλεξε να μην αγοράσει το παλίμψηστο, αν και τού δόθηκε η ευκαιρία, προφασιζόμενο δικαιολογίες τού τύπου «δεν αγοράζουμε κλεμμένα χειρόγραφα…».


Το παλίμψηστο, όταν παραδόθηκε προς μελέτη στο Walters Art Museum, ήταν σε άσχημη κατάσταση, πολύ χειρότερη από όταν το είχε δει ο Heiberg το 1906. Είχε 174 σελίδες, αλλά έλειπαν επι πλέον σελίδες, τρεις από τις οποίες με κείμενο τού Αρχιμήδη. Είχε κηλίδες από μούχλα, λεκέδες από κερί και κόλλα και λωρίδες χαρτιού. Επίσης, ένας από τους ιδιοκτήτες του, πιθανώς κατά την περίοδο τού μεσοπολέμου είχε ζωγραφίσει τέσσερις εικόνες των ευαγγελιστών (που αντέγραψε από ένα βιβλίο τού 1929), για να αυξήσει την αξια τού χειρόγραφου.

Συστάθηκε μια ομάδα τεχνικών και ερευνητών διαφόρων κλάδων για να αποκαταστήσει και να διαβάσει το χειρόγραφο σε συνεργασία με μια ευρύτερη ομάδα ειδικών από όλο τον κόσμο. Οι σελίδες φωτογραφήθηκαν με ειδικές κάμερες σε δεκάδες διαφορετικά μήκη κύματος από την περιοχή τού υπέρυθρου, τού ορατού και τού υπεριώδους φάσματος, ξανά και ξανά, προκειμενου οι τεχνικοί να αυξήσουν την ανάλυση των φωτογραφιών, τις οποίες κατόπιν επεξεργάστηκαν ψηφιακά. Προσπάθησαν να διαχωρίσουν τη φασματική υπογραφή τής μελάνης τού αρχικού κειμένου από τής περγαμηνής και τού μεταγενεστερου κειμένου τού ευχολογίου και κατόπιν να κάνουν το μελάνι τού ευχολογίου να μοιάζει με την περγαμηνή, για να ξεπροβάλλει το αρχικό κείμενο ακόμα και σε σημεία, όπως οι ραφές και οι άκρες. Το υπεριώδες αποδείχτηκε χρησιμότερο από το υπέρυθρο, διότι το μελάνι τού αρχικού κειμένου περιείχε περισσότερο σίδηρο, που απορροφά το υπεριώδες, από άνθρακα, που απορροφά το υπέρυθρο. Οι προσπάθειες κράτησαν μια δεκαετία, από το 1999 έως το 2008.

Στο μεταξύ, το κείμενο κάτω από τις φωτογραφίες των ευαγγελιστών θεωρήθηκε, ότι είχε χαθεί για πάντα. Όμως, το Μάιο τού 2005, τα τελευταία κομμάτια που αντιστέκονταν, έγινε κατορθωτό να διαβαστούν με τη βοήθεια δέσμης ακτίνων Χ υψηλής εστίασης, που δημιουργήθηκε στον γραμμικό επιταχυντή ηλεκτρονίων τού πανεπιστημιου Stanford. Όλες οι φωτογραφίες και άλλες πληροφορίες έχουν αναρτηθεί στο διαδίκτυο.

Ήδη από την εποχή του Heiberg, το σύγγραμμα «Περί των μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος» (η λέξη έφοδος  είναι συνώνυμη με τη λέξη μέθοδος) θεωρούνταν το σπουδαιότερο έργο τού Αρχιμήδη, αφού ο ίδιος συνήθιζε να ανακοινώνει αποτελέσματα χωρίς καμμία εξήγηση πώς τα κατάφερε, όπως τον υπολογισμό με αρκετή ακρίβεια τής τετραγωνικής ρίζας τού 3. Η «Μεθοδολογία» ήταν αφιερωμένη στον Ερατοσθένη (όπως και το βοεικόν πρόβλημα) και εκεί έδινε εξηγήσεις για τις μεθόδους του. Ιδιαιτερα είχε εκτιμηθεί ο χειρισμός από τον Αρχιμήδη των απειροστών για να υπολογίζει επιφάνειες, όγκους και κέντρα βαρύτητας στερεών.

Στο έργο αυτό ο Αρχιμήδης καταπιάνεται με την επίλυση διαφόρων προβλημάτων χρησιμοποιώντας μια ποικιλία τεχνικών, με πιο συνηθισμένη ένα εντυπωσιακό συνδυασμό φυσικής και μαθηματικών. Ο Αρχιμήδης λέει, ότι χρησιμοποιώντας τη μηχανική θεωρία βρήκε προτάσεις, τις οποίες μπόρεσε κατόπιν να αποδείξει με τη γεωμετρική μέθοδο. Είναι προφανές, ότι συνιστά τη μηχανική μέθοδο ως τρόπο έρευνας, με τον οποίο ανακαλύπτει κανείς γεωμετρικές σχέσεις, τις οποίες επαληθεύει κατόπιν με καθαρά γωμετρική απόδειξη.

Η μέθοδος αυτή βασιζόταν στις έρευνές του πάνω στο κέντρο μάζας και στο νόμο των μοχλών. Σύγκρινε την επιφάνεια και τον όγκο γνωστού σώματος με ένα άλλο, που δεν γνώριζε τίποτα. Χώριζε το κάθε σώμα σε άπειρες φέτες απειροστού πάχους και αντιστοιχούσε τις φέτες μεταξύ τους. Συνδύαζε αυτή τη μέθοδο με τη μέθοδο τής εξάντλησης για πιο σίγουρα αποτελέσματα. Επίσης, για να προσδώσει ακρίβεια στα αποτελέσματά του χρησιμοποιούσε κάτι αντίστοιχο με τα αθροίσματα Riemann. Έτσι, έλυνε προβλήματα, που σήμερα λύνονται με τη βοήθεια τού ολοκληρωτικού λογισμού, που αναπτύχθηκε στα τέλη τού 17ου αιώνα (Newton, Leibniz).

     Η ερευνα έδειξε, ότι υπήρχαν πολλά ακόμη, που δεν γνωρίζαμε. Από τη μελέτη τού παλίμψηστου αποδείχτηκε, ότι ο Heiberg δεν είχε φωτογραφίσει όλες τις σελίδες του και δεν είχε αντιγράψει όλο το κείμενο από τις φωτογραφίες που διέθετε, έργο που από μονο του ήταν δύσκολο και χρονοβόρο. Επίσης δεν είχε λάβει υπ΄ όψη τα διαγράμματα, που πρόσφατες έρευνες δείχνουν, ότι ήταν σημαντικά στην αρχαία επιστήμη και ειδικότερα στα μαθηματικά. Το «Οστομάχιον» είχε αποδοθεί αποσπασματικά σε σημείο, που δεν γινόταν να εξαχθούν συμπεράσματα. Τέλος, είχε παραλείψει μερικά κομμάτια από το κείμενο, κυρίως σε σημεία, όπου η σκέψη του Αρχιμήδη γινόταν πρωτότυπη και απρόβλεπτη.


Σε ένα τέτοιο κενό φάνηκε η χρήση τού απείρου με τον τρόπο, που το χειριζόμαστε σήμερα (θεωρία συνόλων, Cantor, 1874). Ο Αρχιμήδης προσπαθώντας να υπολογίσει τον όγκο ενός κυλινδρικού τμήματος συγκρίνει δυο διαφορετικά σύνολα άπειρων και τα βρίσκει ίσα. Ο Αρχιμήδης είχε αντικρούσει τις εδραιωμένες αντιλήψεις τού Αριστοτέλη για το άπειρο.

* * *

Το άπειρο έχει κεντρική θέση στα μαθηματικά ήδη από την αρχαία εποχή (παράδοξο Επιμενίδη, παράδοξα Ζήνωνα) και κυρίως στη βάση τους, που είναι η μαθηματική ανάλυση (ολοκλήρωμα, παράγωγος, όριο). Ο σύγχρονος τού Αρχιμήδη, Απολλώνιος, με τα «Κωνικά»  είχε φτάσει πολύ κοντά στην ανάπτυξη τής Αναλυτικής Γεωμετρίας (Descartes, 1637), ο Διόφαντος είχε προχωρήσει στην Άλγεβρα και ο Πάππος στη Γεωμετρία. Τα Μαθηματικά τροφοδοτούν άλλες επιστήμες, όπως η Φυσική και η Μηχανική, οι οποίες τροφοδοτούν την Τεχνολογία. Διάφοροι παράγοντες στην αρχαία εποχή απέτρεψαν την περαιτέρω εξέλιξη τής Επιστήμης και τής Τεχνολογίας, όπως η άνοδος τής πίστης και τής δεισιδαιμονίας, τα οικονομικά προβλήματα των αυτοκρατοριών (λόγω πολέμων κ.λπ.), η ερήμωση τής υπαίθρου, η κρίση στη μικρή ιδιοκτησία και η επέκταση τής δουλείας, οι γενιές ανθρώπων που γεννήθηκαν και μεγάλωσαν στα σοκάκια των μεγαλουπόλεων τρεφόμενοι με άρτο και θεάματα και η επιλογή των αυτοκρατορικών αρχων να στραφούν προς μια πολιτικο-στρατιωτικού τύπου θρησκευτική ιδεολογία (χριστιανισμό), προκειμενου να επιβιώσουν και να διαιωνιστούν. Παράγοντες, τους οποίους ένα προς ένα μπορούμε να τους παρατηρήσουμε και σήμερα σε μικρότερο ή μεγαλύτερο βαθμό.

Κάποιοι ερευνητές αναρωτιούνται πώς θα ήταν ο κόσμος σήμερα αν η εργασία τού Αρχιμήδη ήταν γνωστή π.χ. έναν αιώνα πριν την ανάπτυξη τού ολοκληρωτικού και διαφορικού λογισμού.

PAGAN  http://www.freeinquiry.gr

About sooteris kyritsis

Job title: (f)PHELLOW OF SOPHIA Profession: RESEARCHER Company: ANTHROOPISMOS Favorite quote: "ITS TIME FOR KOSMOPOLITANS(=HELLINES) TO FLY IN SPACE." Interested in: Activity Partners, Friends Fashion: Classic Humor: Friendly Places lived: EN THE HIGHLANDS OF KOSMOS THROUGH THE DARKNESS OF AMENTHE
This entry was posted in SCIENCE=EPI-HISTEME and tagged , , , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s